08电子系电子2班 多元函数微分学
厦门理工《高等数学 1 》
系 专业 班 姓名 陈 跃 强 学号 0806012243
第一节 多元函数的基本概念
一．选择题 1．函数z?1ln(x?y)的定义域 [ C ]
（A）x?y?0 （B）ln(x?y)?0 （C）x?y?1 （D）x?y?1
xyx?y22 2．设f(x,y)?，则f(yx,1)? [ A ]
（A）
xyx?y22 （B）
x?yxy22 （C）
xx?12 （D）
x
24
1?x
3．设z? （A）
y?f(x?1)，且当y?1，z?x时，则f(y)= [ D ]
y?1 （B）y （C）y?2 （D）y(y?2)
4．若f(x,y)?ln(x?x?y)(x?y?0)，则f(x?y,x?y)= [ B ]
22 （A）ln(x?y) （B）2ln( （C）
12(lnx?lny) （D）2ln(x?y)
x?y)
二．填空题 1．设z?4?x?y22?1x?y?122的定义域为 1?x?y?4
22x(1?y) 2．已知f(x?y,)?x?y，则f(x,y)?
1?yxy222 3．已知f(u,v,w)?u三．计算题 1．
limsin(xy)yw?wu?v，则f(x?y,x?y,xy)= (x?y)?(xy)
xy2x(x,y)?(2,0)
解：原式=
(x,y)?(2,0)limsin(xy)xy?x?(x,y)?(2,0)limsin(xy)xy?lim(x,y)?(2,0)x?1?2?2
11
08电子系电子2班 多元函数微分学
2．
(x,y)?(0,0)limxyxy?4?2
解：原式= 3．
lim(x,y)?(0,0)limxy(xy?4?2)xy?(x,y)?(0,0)limxy?4?2?4
1?cos22x?yx?2y2222(x,y)?(0,0) (x?y)e1解：原式=
(x,y)?(0,0)lim22(x?y)2x?2y2222(x?y)e?(x,y)?(0,0)lim12ex?2y22?12
4．函数z?y?2xy?2x22在何处是间断的
解：因为函数z?y?2xy?2x22在y2?2x?0这条抛物线上是无意义的，
所以该函数在y2?2x?0这条抛物线上处处间断。
四．证明极限
limx?yx?y 不存在.
(x,y)?(0,0)解：令y?kx,k?R.则当x?0 时, y?0, 且
x?y(0,0)
(x,y?)limx?y=
(x,y)?(0,0)lim(1?k)x(1?k)x?1?k1?k
显然
(x,y?)limx?y(0,0)x?y随着k的变化而变化, 所以极限
(x,y)?(0,0)limx?yx?y不存在.
12
08电子系电子2班 多元函数微分学
《高等数学 1 》
系 专业 班 姓名 学号 5. 2 偏导数与全微分 (1)
一．选择题
1. 设z?f(x,y)，则
?z?x(x0,y0)= [ B ]
f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?xf(x0,y0??y)?f(x0,y0)?x （A）limf(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?xf(x0??x,y)?f(x0,y0)?x?z?y(e,1)?x?0 （B）lim
?x?0 （C）lim?x?0 （D）lim
?x?0 2. 设z?xy，则= [ C ]
（A）0 （B）1 （C）e （D）e?1 3．设z?cos(x2y)，则
?z?y= [ D ]
（A）sinx2y （B）x2sinx2y （C）?sinx2y （D）?x2sinx2y
??(x,y)= [ C ] 4．设f(x,y)?2x2?3xy?y2，则fxy （A）?2 （B）2 （C）3 （D）6
5．设z?exy，则dz= [ B ] （A）exydx （B）exy(xdy?ydx) （C）ydx?xdy （D）exy(x?y) 二．填空题
1．设f(x,y)?x?y?3xy22x?y，则fx?(3,4)? 25
2设f(x,y)?xy?e22?sin(x?y)，则fx(1,1)? 1?e 234 3．设f(x,y,z)?xyz，则fz(x,y,z)= 4xyz 233 4．设u?xln(xy)，则
?u?x?y23? 0 2 5．函数z?arctanxy?2x?y的全微分dz? (y1?xy22?4x)dx?(x1?xy22?1)dy
13
08电子系电子2班 多元函数微分学
三．计算题
1．设z?tanxy2，求
?z?x，
?z?y
解：
?z?x=secxy?22?(xy)?x?(xy)?y22222?ysecxy
?z?y=secxy?2222?2xysecxy
2．设z?arcsinxx?y22，求?z?x22，
?z?x?y2，x?z?y22
x?y?x22解：
?z?x?1?1x222x?yx?y2222?yx?y22
x?y?x?z?y?1?1x2222yx?yx?y222??xx?y22
x?y2xy?z?x22??(x?y)22222
?z?x?y?z?y222?x?y?2y(x?y)2xy2222?x?y2222(x?y)2
?(x?y)11?(?)xy222
3．设z?e，求证x21x1y?z?x?y2?z?y?2z
1x1y 证明：
?z?x?(?)?e?1x2，
1x?z?y?(?1y)?(?)?e?1y2
?x
2?z?x?y2?z?y?2e?2z
14
08电子系电子2班 多元函数微分学
《高等数学 1 》
系 专业 班 姓名 学号 5. 2 偏导数与全微分 (2)
一．选择题
1．设z?u2?v2，而u?x?y,v?x?y，则
?z?x??z?y= [ A ]
（A）4x?4y （B）4x?4y （C）?4x?4y （D）?4x?4y
x 2．设z?esinv，而u??x，v?u，则
?z2在点(2,1)处的值为 [ B ]
y?x?y?2 （A）?e??2? （B）????2? （C）??e?2????e????? （D）???????e??二．填空题
2 1．设z?u2lnv，而u?xy,v?3x?2y，则
?zy)?3x?x=
2xy2ln(3x?23xy2?2y3 2．设z?ex?2y，而x?sint，y?t3，则
dzdt= (cost?6t2)esint?2t3 3．设z?1x(fx)?y?(y?x，)yf和?具有二阶连续导数，yf??(xy)???(x?y)?y???(x?y) 三．计算题 1．设z?arctanxy，而x?u?v，y?u?v，求
?zz?u???v
解：
?z?u??z?x?x?u??z?y?y?u?yxvx2?y2?x2?y2??u2?v2
?z??z?xz?y?yxu?v?x?v??y?v?x2?y2?x2?y2?u2?v2
??zu?v?u??z?v?u2?v2
15
?2则z?x?y=