08电子系电子2班 多元函数微分学
?3x2?2y2?122．求由曲线?绕y轴旋转一周得到的旋转曲面在点(0,3,z?0?2)处的指向外侧的单位
法向量.
解：该旋转曲面方程为：3x2?2y2?3z2?1 2222 令F(x,y,z?2 则 )3x?2y?3z?1，
n?(Fx,Fy,Fz)?? n?(0,42)?(x6y,4z, 6)(0,3,3,6 2)105155 所以旋转曲面在该点处的单位法向量为 (0,
3．求曲面z?x2, )2?y平行与平面2x?2y?z?0的切平面方程.
2 解：令F(x,y,z)?x22?2?y?z，则 n?(Fx,Fy,Fz)?(x,2y?,
又平面2x?2y?z?0的法向量为 (2,2,?1) 根据题意知
x2?2y2??1?1， x?2,y?1，从而n?(2,2,?1)，切点为(2,1,3)
? 所以该曲面平行与平面2x?2y?z?0的切平面方程为： 2x?2y?z?3
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《高等数学 1 》
系 专业 班 姓名 学号 5．3 微分法的应用 （2）
一．选择题
1．函数z?(1?x)2?(1?y)2的驻点是 [ D ] （A）(0,0) （B）(0,1) （C）(1,0) （D）(1,1)
2．函数 z?xy(1?x?y)的极值点是 [ D ] （A）(0,0) （B）(1,0) （C）(0,1) （D）(,)
3311二．计算题
1．求z?x3?y3?3x2?3y2的极值
2??zx?3x?6x?0 解： 由? 得驻点(0,0),(2,2),(0,2),(2,0) 2??zy?3y?6y?0 又zxx?6x?6,zxy?zyx?0,zyy?6y?6
在点(0,0)处，AC?B2?36?0且A?0，所以z在点(0,0)处取得极大值0； 在点(2,2)处，AC?B2?36?0且A?0，所以z在点(2,2)处取得极小值?8； 在点(0,2)处，AC?B2??36?0，所以z在点(0,2)处没有极值； 在点(2,0)处，AC?B2??36?0，所以z在点(2,0)处没有极值。
2．求函数z?xy在条件x?y?1下的最大值
解：作拉格朗日函数 L(x,y)?xy??(x? )y?11?x??2?Lx?y???0?1?? 令 ?Ly?x???0 解得 ?y?
2???x?y?11?????2? 所以z(
12,12)?14是函数在条件x?y?1下的最大值
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3．求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体.
解：设长方体的长,宽,高分别为x,y,z。则
长方体的体积 V?xyz，且x2?y2?z2?4a2
作拉格朗日函数 L(x,y,z?)?Lx??Ly 令 ??Lz?x2??yz?2x??0?xz?2y??0?xy?2z??0?y?z?4a22xy?z?(x?22y?22?z4 a) 解得 x?y?z?22a3
所以内接于半径为a的球的长方体的体积最大为
4．求曲面
x28a3。
332?y?2z24?1到平面2x?2y?z?5?0的最短距离.
解：设(x,y,z)为曲面上任意一点，则该点到平面2x?2y?z?5?0的距离为 d?|2x?2y?z?5|3
2x?2y?z?52xz2)??( 作拉格朗日函数 L(x,y,z)?(?y??1)
32422??Lx???L?y?? 令 ??L?z??2x???24(2x?2y?z?5)94(2x?2y?z?5)92(2x?2y?z?5)9?y?2?x??0?2y??0?12
z??0z24?1?x?1?1? 解得?y? 或
2???z?1?x??1?1? y???2???z??112,?1)?13 又d(1,12,1)?3，d(?1,?
12 所以曲面
x22?y?132z24?1到平面2x?2y?z?5?0的最短距离在点(?1,?,?1) 处取
到，最短距离为
。
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