08电子系电子2班 多元函数微分学
ax 2．设u?e(y?z)2a?1??u?xaeax，而y?asinx，z?cosx，求
dudx
解：
dudx??udy?ydx??udz ?zdxax2 ?(y?z)2a?1a?1a?122ax?aecosxa?1?eax2sinxa?1
?esinx
2．设f具有一阶连续偏导数，u?f(x2?y2,exy)，求
?u?x和
?u?y
解：令v?x2?y2,
?u?x??u?v?vx??uw?ew?xy. 则
?w?x?xy??2xf1?yef2 ?xy???2yf1?xef2
?u?y??u?v?vy??uw??w?y 3．设z?xy?xF(u)，而u??zyx，F(u)为可导函数，证明
yxx?z?x?y?z?y?z?xy
解：
y?y?F(u)?xF?u()?(?2?xx?)y?F(u)??(uF )1?(u?x?xF)?(?yx?z?x?z?y?z)?x?F?(u)
?x?y?xy?xF(u)?yF?u(?)xy?yF?u( ) ?2xy?xF(u)?
z? xy 16
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《高等数学 1 》
系 专业 班 姓名 学号
5. 2 偏导数与全微分 (3)
一．选择题 1．设ln （A）
x?y22?arctanyx，则
dydx= [ B ]
x?yx?yx?yy?x （B）
x?yx?y （C） （D）
?z?x(1,2,?1)y?xx?y
2．设z?z(x,y)由x3?y3?z3?xyz?6?0所确定的函数，则 （A）
15= [ C ]
115 （B）
115 （C）??z?x?z?y15 （D）?
3．设f(x?az,y?bz)?0，a?b= [ C ]
（A）0 （B）1 （C）?1 （D）2ab 二．填空题
1．设函数z?z(x,y)有方程x?y?xyz232?0确定，则
?z?x=
2x?yz2xyzz2 2．设x?zlnzy，则dz?11?lnzydx?zy(1?lnzy)dy dz?x?zdx?z2y(x?z)dy 三．计算题
1．设x?2y?z?2xyz?0，求
?z?x及
?z?y
解：设F(x,y,z)?x?2y?z?2xyz 则Fx?1?yzxyz， Fy?2?yzxyzxyxyzxzxyzxyxyzxzxyz，Fz?1?xyxyz
所以
?z?x??FxFz1???1???xyz?yzxyz?xy
?z?y??FyFz2???1???2xyz?xzxyz?xy
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22?z?x?ydydz 2．设?2，求， 22dxdx?x?2y?3z?20 解：方程组等式两边分别对x求导得： dy?dz?2x?2y??dxdx ?
dydz?2x?4y?6z?0?dxdx? 解得
dydx??dzxx(6z?1)， ?3z?12y(z3?1)dx?z?x?y2 3．设z?3xyz?a，求
33
解：等式两边先对x,y求导得： 3z2?z?x?3yz?3xy?z?x?0，
?z?x?z?y?yz2z?xyxzz?xy22
3z2?z?y?3xz?3xy?z?y?， 0?
??z?x?y2?()?(2?)?y?x?yz?xyz?2xyz?xyz(z?xy)235322??z?yz(z?y?z?y)z(?xy?)yz(z?xy)22?z(z2?x?y)
?
4．设?(x,y)具有连续偏导数，证明由方程?(x?zy,y?zx)?0所确定的函数z?f(x,y)满足
x?z?x?y?z?y?z?xy
证：设F(x,y,z)??(x?zxzy,y?zxzx2)
??1???2?(? Fx??1)???1?2?? 2
??(? Fy??1zy)???2?1???2?21xzy2?? 1??Fz??11y????2
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则
?z?x??FxFz???1?????11yzx2??21x
????2zy2
?z?y??FyFz???2?????11y??11x
????2所以 x?z?x?y?z?y??x?1??zx??21x?y???2???12zy??11x???121y????21y
???2? ????yz???xy?1?xy???xz?122??y??x?12
?z?xy
?z?z??(c?a)??b???012??x?x? 证：方程两边分别对x,y求导得 ?，
?z?z??a??(c?b?1)???02??y?y?即
?z?x??c??1??b???a??12
?z?y?c???2??b???a??12
从而 a
?z?x?b?z?y?c
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《高等数学 1 》
系 专业 班 姓名 学号 5．3 微分法的应用 （1）
一．选择题
?x?t?2 1．曲线?y?t上点M处的切线平行于平面x?2y?z?4，则点M的坐标为 [ B ]
?z?t3? （A）(1,1,1) （B）(?111111,,?) （C）(,,) （D）(?3,9,?27) 39273927 2．曲面3x2?y2?z2?12上点M(?1,0,3)处的切平面与平面z?0的夹角是 [ B ] （A）
?6 （B）
?4 （C）
?3 （D）
?2
3．已知曲面z?4?x2?y2上点P处切平面平行于平面2x?2y?z?1?0，则点P的坐标是 [ C ]
（A）(1,?1,2) （B）(?1,1,2) （C）(1,1,2) （D）(?1,?1,2) 二．填空题
y??1 1．设曲线x?1?tt，y?t1?t，z?2t在t?1上的切线方程为
x?2?42?z?2 18 2．曲面3x2?xy?yez?13上点(2,1,0)处的切平面方程是 13x?y?z?27 三．计算题
1．求曲线x?t?sint，y?1?cost，z?4sin 解：x??1?cost,y??sint,z??2cos? ?T?(x?,y?,z?)?(1t2t2在点(?2?1,1,22)处的法平面方程.
t,2 cos2)cots,stin T(?2?(1,1,?1,1,22) 2)? 因此曲线在该点处的法平面方程为 1?(x?(2?1))?1?y(?1?)z2?(?2 2?)0 即 x?y?
2z??2?4
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