第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 9.6 模拟方法——概率
的应用课时规范训练 理 北师大版
[A级 基础演练]
1．(2016·北京西城模拟)在区间[0,2]上任取两个实数a，b，则函数f(x)＝x＋ax－b在区间[－1,1]上有且只有一个零点的概率是( )
1
A. 83C. 4
2
3
1B． 47D. 8
解析：∵a∈[0,2]，∴f′(x)＝3x＋a≥0，∴f(x)是增函数．若f(x)在[－1,1]上有且仅有一个零点，则f(－1)·f(1)≤0，即(－1－a－b)(1＋a－b)≤0，则(1＋a＋b)(1＋a－
b)≥0.由题意知全部事件的面积为2×2＝4，满足条件的面积为4－×1×1＝，∴所求概
727
率P＝＝，故选D.
48
答案：D
2．(2015·高考陕西卷)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( )
31A.＋ 42π11C.－ 42π
2
1272
11B.＋ 2π11D.－ 2π
2
2
2
解析：由题意得|z|＝?x－1?＋y≤1，即(x－1)＋y≤1，表示的是圆及其内部，112
如图所示．当|z|≤1时，y≥x表示的是图中阴影部分，其面积为S＝π×1－×1×1＝
42π－2
. 4
π－2411
又圆的面积为π，根据几何概型公式得概率P＝＝－. π42π答案：C
1
3．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
A.C.π 4π 8
πB．1－ 4πD．1－ 8
解析：如图所示，当点M位于长方形中的半圆以外时，点M到O的距离大于1，该部分π2－
2ππ
的面积是2－，故所求的概率为＝1－，故选B.
224
答案：B
4．(2016·开封摸底)已知线段AC＝16 cm，先截取AB＝4 cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm的概率为__________．
解析：依题意，设长方体的长为x cm，则相应的宽为(12－x)cm，由4x(12－x)>128得
3
x2－12x＋32<0，(x－4)·(x－8)<0,4 1 答案： 3 8－41 ＝. 123 5.如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM＜1的概率________． 解析：由已知可得BD＝1，∠BAC＝75°，当M在线段BD上，满足BM＜1，即射线AM30°2 在角∠BAD内，其概率P＝＝. 75°5 2答案： 5 6．在区间[－1,1]上任取两数m和n，则关于x的方程x＋mx＋n＝0有两个不相等实根的概率为________． 解析：由题意知－1≤m≤1，－1≤n≤1.要使方程x＋mx＋n＝0有两个不相等实根，则1122 Δ＝m－4n>0，即(m－2n)(m＋2n)>0.作出可行域，如图，当m＝1时，nC＝，nB＝－，所22 2 2 22 2 1?1??112S△OBC?22 以S△OBC＝×1×?－?－??＝，所以方程x＋mx＋n＝0有两个不相等实根的概率为＝ 22×2?2?2??21 2×21＝. 44 1答案： 4 7．(2016·南京模拟)甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹． (1)求空弹出现在第一枪的概率； (2)求空弹出现在前三枪的概率； (3)如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个分别相距3、4、5的弹孔P，Q，R，第四枪瞄准了三角形PQR射击，第四个弹孔落在三角形PQR内，求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率(忽略弹孔大小)． 解：设四发子弹编号为0(空弹)，1,2,3， 1 (1)设第一枪出现“空弹”的事件为A，第一枪有4个基本事件，则：P(A)＝. 4(2)法一：前三枪出现“空弹”的事件为B，则第四枪出现“空弹”的事件为B，那么 P(B)＝P(A)，P(B)＝1－P(B)＝1－P(A)＝1－＝. 法二：前三枪共有4个基本事件{0,1,2}，{0,1,3}，{0,2,3}，{1,2,3}，满足条件的有3 三个，则P(B)＝. 4 π (3)Rt△PQR的面积为6，分别以P，Q，R为圆心、1为半径的三个扇形的面积和为， 216－π2π 设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的事件为C，P(C)＝＝1－. 6128．将长为1的木棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率． 13 44 3 解：设事件A表示“3段构成三角形”，x，y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为1－x－y，则试验的全部结果可构成集合Ω＝{(x，y)|0＜x＜1,0＜y＜1,0＜x＋y＜1}，1要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x＋y＞1－x－y?x＋y＞，x211 ＋1－x－y＞y?y＜，y＋1－x－y＞x?x＜. 22 ?111???故所求结果构成集合A＝?x，y??x＋y＞，y＜，x＜? 222??? . A的面积 由图可知，所求概率为P(A)＝ Ω的面积 1?1?2·??2?2?1＝＝. 142×12 [B级 能力突破] x≤0，?? 1．(2014·高考湖北卷)由不等式组?y≥0， ??y－x－2≤0 ??x＋y≤1， 组? ?x＋y≥－2? 确定的平面区域记为Ω1，不等式 确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概 率为( ) 1A. 83C. 4 1B. 47D. 8 解析：如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD， 4 12－ 47S四边形OACD?13?易知C?－，?，故由几何概型的概率公式，得所求概率P＝＝＝. S△OAB28?22?答案：D 1 2．(2015·高考湖北卷)在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的 21 概率，p2为事件“xy≤”的概率，则( ) 2 1 A．p1 C. 1B．p2< 21D．p1< 2 解析：如图，满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA内，其面积为1.事件“x11111111 ＋y≤”对应的图形为阴影△ODE，其面积为××＝，故p1＝<，事件“xy≤”对应 22228822111 的图形为斜线表示部分，其面积显然大于，故p2>，则p1< 222 答案：D 3.(2016·湖北部分学校质量检测)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( ) 5