概率和收益（或损失）都有两套资料，无法形成统一的矩阵形式。
（2）决策分阶段进行，需要在前期阶段基础上进行后期阶段决策。这类决策问题的特点是进行决策后又遇到新情况，并需要进行新的决策；接着又有一些新情况，又需要进行新的决策。这样“决策、情况、决策、情况、决策??”构成一个序列，称为序列决策。系列决策的备选方案由其中各次决策的备选方案组合而成。序列决策的描述不再能借助决策矩阵，而是需要借助决策树。
在以上两中情况下，用决策树均可解决问题。它的基本功能是用树形结构描述备选方案、自然状态和收益值之间的随机因果关系。这种形式的好处是直观形象，层次清楚，便于具体讨论研究。
3.4.1 决策树
决策树提供了可视化表示问题的有效方法，它由以下几部分构成。 （1）决策点与方案枝
在决策树中，“ ”状的图形称为决策点，由决策点出发，引出若干个不同的枝杈，每条分枝代表一个备选方案，称为方案枝。方案枝末端可连接机会点或终点。
（2）机会枝与概率枝
在方案枝的末端，有时连接一个“ ”形节点，称它为机会点或状态点。由状态点引出若干个枝杈，每一分枝上标明状态名称及其发生的概率，称为概率枝。概率枝的末端连接另一个决策点或终点。
（3）终点与益损值
在概率枝或方案枝末端，如果画一个“ ”，那么它就表示决策终点，终点旁边应标明相应的收益值或损失值。
如果整棵树上只有一个决策点，就称为单级决策树；如果不止一个决策点，而是在沿枝杈右移过程中会遇到其他决策点，就称为多级决策树。一般来说，每个决策问题有多个备选方案。每个方案可能遇到多种自然状态，因此形成如图1所示的树形网状结构图。
图1 决策树
在决策树的绘制过程中必须遵守以下规则：
（1）如果数枝是从机会点“ ”分出来的，则要将其右侧各枝的期望收益或损失加以总计，记在该机会点上。
（2）如果树枝是从决策点“ ”分出来的，则应从各分枝右端的机会点旁标记的期望收益或损失中选取最优者，其余方案便被淘汰，并且在被淘汰的方案枝上画上“
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”，
使紧邻决策点右侧只留下一条最优行动的方案枝，从而反映了本层决策的结果。
决策树中数据及文字表达方式
一般情况下，方案名称写在方案枝的上方或下方；自然状态及概率标在概率枝的上方或下方；每个方案不同状态下的损益值标在结果点的右侧；各方案的损益期望值标在各方案的自然状态结点上方；最优方案期望值标在决策点上方；对决策点和自然状态结点编号的顺序是由左至右，由上至下按不同编号类型分别编写；当决策问题属多级决策时，应在相应概率枝上引入新的决策点。 决策树法的解题步骤
（1）列出方案。通过资料的整理和分析，明确决策问题，列出所有可行方案。 （2）根据方案绘制决策树。决策树按从左到右的顺序绘制。
（3）计算各方案的期望值。计算时从决策树最右端的结果点开始。
（4）方案选择即决策。在各决策点上比较各方案的收益期望值，以其中最大者为最优方案。在被舍弃的方案分枝上打上双截号或叉号表示剪枝。
3.4.2 决策树决策分析举例
例1 某工厂可生产3种型号的产品A1、A2和A3，由于采取的工艺、材料不同， 成本也不同，每种产品销售都可能出现两种情况：一种是产销对路销售量大（S1）；另一种是产销不对路销售量小（S2），所以效益值见表6，试用决策树进行决策。 解：（1）画出决策树如图2所示； （2）计算各自然状态点的期望效益
值，从右往左计算。
表6 单位（万元）
方 案 状 收 态 益 概 值 率 状 态 S1（销量大） S2（销量小） P(S1)=0.4 P(S2)=0.6 A1 A2 100 75 50 -20 10 30 A3 （-20）?28； E(2)?0.4?100?0.6?（10）?36； E(3)?0.4?74?0.6?
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E(4)?0.4?50?0.6?30?38。
（3）将各效益期望值标在相应的自然状态点上方，然后进行比较并决策。由于E(A3)最大，因此，生产A3产品为最优方案，并把最优策略的期望值标在决策点上方，对其它方案剪枝。
图2
例2 某车队需要以最短时间从A地出发到B地实施救援任务，A到B有3条道路，记为1号路、2号路和3号路，所需时间分别为4小时、2小时和2.5小时，其中道路2和3上有桥梁。由于道路遭到自然灾害，桥可能遭到破坏，损坏程度尚未查明。决策者汇总各方面的情况，初步判定道路2上的桥梁毁坏率为0.4，道路3上的桥梁毁坏率为0.3。无论车队走哪条路，遇到桥梁毁坏需要折回重新选择另两条路。试帮助决策者决策救援车队应该走哪条路。
解：依题意，可用决策树法进行决策。 方案一 走1号路，4小时。
方案二 走2号路，如桥好，2小时；如桥坏，返回，有2种选择。选择一，走1号路，共需6小时；选择二，走3号路，如桥好，4.5小时，如桥坏，返回走1号路，共需7小时。
方案三 走3号路，如桥好，2.5小时；如桥坏，返回，有2种选择。选择一，走1号路，共需6小时；选择二，走2号路，如桥好，2.5小时，如桥坏，返回走1号路，共需7小时。
得到的决策树如图3所示。个方案节点的期望值为 节点⑥ 0.6?4.5?0.4?7?5.5 节点⑦ 0.7?3?0.3?7?4.2 于是决策点4，选择3号路；决策点5，选择2号路。 方案节点的期望值为
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节点② 0.7?2?0.3?5.5?3.05 节点③ 0.6?2.5?0.4?4.2?3.18 于是决策点1，选择2号路。
图3
3.4.3 决策树的优缺点
（1）决策树的优点
决策树易于理解和实现，人们在在学习过程中不需要使用者了解很多的背景知识这同时是它的能够直接体现数据的特点，只要通过解释后都有能力去理解决策树所表达的意义。 对于决策树，数据的准备往往是简单或者是不必要的，而且能够同时处理数据型和常规型属性，在相对短的时间内能够对大型数据源做出可行且效果良好的结果。
易于通过静态测试来对模型进行评测，可以测定模型可信度；如果给定一个观察的模型，那么根据所产生的决策树很容易推出相应的逻辑表达式。 （2）决策树的缺点
对连续性的字段比较难预测。对有时间顺序的数据，需要很多预处理的工作。当类别太多时，错误可能就会增加的比较快。一般的算法分类的时候，只是根据一个字段来分类。
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4 灵敏度分析和风险分析
4.1 灵敏度分析
4.1.1 灵敏度分析的意义
其主要任务为：一是确定最优方案不变条件下变量允许变动的范围；二是存在多个变量时进行灵敏性比较，以明确敏感变量与非敏感变量，以供决策者在方案抉择及实施时参[7]
考。
基本分析方法为盈亏平衡分析，其关键是确定两个或多个方案效果相当变量的临界点。 在实际生活中，可把状态概率和收益值等参数在可能的范围内做几次变动，仔细分析这些参数变动后给期望值和决策结果带来的影响。如果参数稍微变动而最优策略不变，则这个策略比较稳定；如果参数稍微变动而最优方案改变，则这个方案不稳定，还需要进行进一步分析，这就是所谓的灵敏度分析。
通常在决策模型中自然状态的概率和损益值往往由估计或预测得到，不可能十分正确，此外实际情况也在不断变化。现需分析为决策所用数据可在多大范围内变动，原最优方案继续有效。下面举例来说明。
例3 假设有外表完全相同的木盒100只，将其分为两组，一组内装白球，有70盒，另一组内装黑球，有30盒。现从这100盒中任取一盒，请你猜，如果盒内装的是白球，猜对了得500分，猜错了罚200分；如这盒内装的是黑球，猜对了得1000分，猜错了罚150分，为使期望值得分最多。应选哪一方案，有关数据列于表7。
表7
方 案 状 得 态 分 概 值 状 态 率 白S1 黑S2 0.7 0.3 猜白A1 500 -200 猜黑A2 -150 1000
图4 解：先画出决策树，如图4所示，计算各方案期望值。
2）?0.7?500?0.3?（-200）?290 “猜白”的期望值为：E（3）?0.7?（-150）?0.3?1000“猜黑”的期望值为：E（?195
经比较可知“猜白”方案最优，现假定出现白球的概率P(S1)从0.7变为0.8。这时
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