LUOYANG NORMAL UNIVERSITY
2012届 本科毕业论文
正定矩阵的性质及推广
院（系）名称 专 业 名 称 学学指
导
教生
姓
名 号 师
数学科学学院 数学与应用数学
李俊霞 080414076 黄盛 讲师 2012.5
完 成 时 间
洛阳师范学院本科毕业论文
正定矩阵的性质及推广
李俊霞
数学科学学院 数学与应用数学专业 学号： 080414076
指导教师：黄盛
摘要：正定矩阵是一类比较重要且应用广泛的矩阵，作为一种特殊的矩阵，当然有许多与其它矩阵不同的性质，本文首先给出了正定矩阵的若干性质. 其次，给出了正定矩阵在证明不等式、求函数的极值、多项式因式分解等方面的具体应用. 最后对正定矩阵作了进一步的推广，得到了广义正定矩阵的一些性质，并给出了相应的证明.
关键词：正定矩阵；广义正定矩阵；正对角矩阵；实对称矩阵
1 关于正定矩阵的定义
本科阶段学习的正定矩阵局限于实对称矩阵，它的常规定义为
定义1?1? n阶实对称矩阵A称为正定的，如果对?0?X??x1,x2, ... ,xn??Rn?1 ,都
T有XTAX?0.这种正定矩阵的全体记作PS.
1970年，C.R.Johnson首先提出了较广义的正定矩阵的定义，即
定义2?2? 设A?Rn?n，如果对?0?X??x1,x2, ... ,xn??Rn?1 ，都有XTAX?0,则
T称A为正定矩阵,这种正定矩阵的全体记作Pl.
1984年，佟文廷把这种矩阵推广为
定义3?3? 设A?Rn?n，如果对?0?X??x1,x2, ... ,xn??Rn?1,都有正对角矩阵
TD=DX，使得XTDXAX?0，则称A为广义的正定矩阵，记为A?PDX，若DX与X无关，则记为A?PD.
1988年，夏长富对这种正定矩阵作进一步推广如下
定义4?4? 设A?Rn?n，如果对?0?X??x1,x2, ... ,xn??Rn?1,都存在S?SX?PS,
T1
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使得XTSXAX?0,称A为广义正定矩阵，这种广义正定矩阵的集合记为PS?，若SX与Xx无关，则把这样的广义正定矩阵的集合记作PS?.
2 正定矩阵的判定定理
定理2.1?1,5,12? 设A是n阶实对称矩阵，则下列命题等价 1? A?PS；
?? 对?0?X??x1,x2, ... ,xn??Rn?1，都有XTAX?0； 3? A的正惯性指数为n，负惯性指数为0； ?? A的各阶顺序主子式都大于0；
?? 存在n阶可逆矩阵P，使PTAP?E?E为n阶单位阵?； ?? 存在n阶可逆矩阵Q，使A=QTQ； ?? A的各阶主子式都大于0； 8? 存在正定矩阵Q，使A?Q2； 9? 所有与A合同的矩阵是正定矩阵； ??? A的特征值都大于0； ??? A半正定且A?0；
T?A1 ??? 设A??T?A2A2?T?1，则A1和A3?A2A1A2是正定矩阵. ?A3? 13? 存在对角元素全大于零的上?下?三角矩阵T，使A?TTT. 证明 1?等价于??
因为A是实对称矩阵，所以A可对角化，即存在正交矩阵P，使
P?1AP?diag??1,?2,?,?n?，
其中?i?i?1,2,?,n?是A的特征值，?i?0，所以
2
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??????Pdiag?A?Pdiag?1?2,?,?n?1?2,?,?P??PPdiag?2?1?1n?1?2,?,?nP?1?
令Q=Pdiag??1?2,?,?nP?1,则Q是正定矩阵且A=Q2.
? 反之，因为Q是正定矩阵，所以Q2是正定矩阵，即A是正定矩阵. 1?等价于9?
设BTAB是与A合同的矩阵，A正定，下证BTAB正定，对
?0?X??x1,x2, ... ,xn??Rn?1，
作非退化线性替换Y?BX，则
XT?BTAB?X?YTAY，
T因为A是正定矩阵，所以
YTAY?0，
即
XT?BTAB?X?0，
所以BTAB是正定矩阵.
反之，令C?BTAB是正定矩阵，则
T A??B??1?1CB???1T?B?1C B，
因为C是正定矩阵，A与C合同，由上面的证明可知，A是正定矩阵. 1?等价于???
?A1 A??T?A2A2?TPAP是正定矩阵， 是正定矩阵等价于?A3??E?A1?1A2? P???,
E??0 PTA?P??A1?0?， ?T?1A3?A2A1?A203
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T?1等价于A1和A3?A2A1A2是正定矩阵.
要证1?等价于13?，需先证明一个引理.
引理2.1 设A为一个n级实矩阵，且A?0，则A可以分解成A?QT，其中Q是正交矩阵，T是一上三角矩阵.
证明 设A???1,?2,?,?n?，其中?i?i?1,2,?,n?是A的列向量，因为A?0，所以?1,?2,?,?n线性无关，可作为n维线性空间的一组基，将其化为标准正交基，令
?1??1， ?2??2???2,?1???，
??1,?1?1?,??3?1?2???,??1?1? ，1
则
?3,???2?3??3????,??2?2??1,?2,?,?n?=??1,?2,?,?n???1???0??????0??2,?1???1,?1?1?0????n,?1????1,?1?????n,?2???，
??2,?2???1????0将?1，?2，?,?n标准化，令
?1??1，
??1,?1??2? ??
?2， ?,??22??n?则
?n，
??n,?n?4