洛阳师范学院本科毕业论文
??1,?2,?,?n?????1,?1??????1,?2,?,?n??0??????0??2,?1???1,?1???2,?2??0????????n,?n?????n,?1????1,?1?????n,?2???， ?,??22???1,?2,?,?n是一组标准正交基，令
Q???1,?2,?,?n?，
????1,?1???T??0??????0??2,?1???1,?1???2,?2??0????????n,?n?????n,?1????1,?1?????n,?2???，
??2,?2??则Q是正交矩阵，T是一上三角矩阵，且对角元素大于零. 下面证明1?等价于13?
T A是正定矩阵等价于存在可逆矩阵P，使A?PP??QT?QT由引理2.1可知
T???TTQTQT?TTT，T是上三角矩阵且对角元素大于0，同样的方法可证明下三角矩阵的情况. 其余等价命题参考文献?1?.
3 正定矩阵的性质
性质3.1 若A是正定矩阵，则AT、A?1、A*、aA?a?0?也是正定矩阵. 证明 因为A是正定矩阵，所以存在n阶可逆矩阵Q，使A?QTQ，则
AT?QQT??QT?QT
T所以AT是正定矩阵.
另外，A的特征值?i?i?1,2,?,n?都大于0，所以?i?1都大于0，即A?1的特征值都
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大于0，所以A?1也是正定矩阵.
对于任意的X??x1,x2, ... ,xn??0，XTaAX?aXTAX?0，所以aA是正定矩阵. 因为A*=AA?1，所以A*是正定矩阵.
性质3.2?6? 设A，B是n阶正定实对称矩阵，且满足AB?BA,则AB也是正定实对称矩阵.
证明 因为?AB??BTAT?BA?AB，所以AB是实对称矩阵，设?是AB的一个特征值，?是对应于?的特征向量，则
AB????,
TTB???A?1?，
?TB????TA?1?，
因为A,B是正定矩阵，所以?TB???，?TA?1??0，所以??0，即AB的特征值都大于
0，所以AB也是正定实对称矩阵.
由性质3.2的证明过程可知，正定矩阵乘积的特征值大于0. 性质3.3 若A、B都是正定矩阵，则A?B是正定矩阵. 证明 显然A?B是实对称矩阵，对于任意的
X??x1,x2, .x?.n.? ,，
T0有
XT?A?所以A?B是正定矩阵.
推论3.1 若A、B都是正定矩阵，则aA?bB?a?0，b?0?是正定矩阵. 性质3.4?7? 若A、B都是正定矩阵，则A?B?A?B.
证明 因为A是正定矩阵，所以存在可逆矩阵P,使得PTAP?E ，显然PTBP是对称矩阵，则PTBP可对角化，所以存在正交矩阵Q,使
?BX?TX0， XA?XT?XB6
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0???1? ? QT?PTBP?Q=?????n??0?因为QT?PTBP?Q是正定矩阵，所以?i?0?i=1，2，?,n?，令S?PQ，则
STAS?E
0???1? ?STBS??????n??0?
??1?1ST?A?B?S==???0?0?? ???n?1??分别对上式两边求行列式得，
S2A?1，
SS22B??1?2??n，
A+B???1?1???2?1????n?1???1?2??n+1，
所以
S2A+S2B?S2A+B，
因为
S?0，
所以
2A?B?A?B.
此性质说明了对任意一个正定矩阵A和一个实对称矩阵B(B不一定是正定的),存在可逆矩阵T，使TTAT和TTBT都为对角矩阵.
性质3.5 A为n阶正定矩阵，则A的元素的绝对值最大者，一定在主对角元上. 证明 因为A正定，从而A的一切二阶主子式都大于0，当i?j时
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aiaiijaa20j?aia?aijj?i. jjij移项后，开方即得，
aij??aiiajj?12?i?j,i,j?1,2,?,n?，
122设A的主对角元上最大元素为akk，再由上式，得，
aij??aiiajj???akk此即证
12?=akk?i?j?，
aij?akk?i,j?1,2,?,n?.
即A的元素的绝对值最大者，一定在主对角元上.
性质3.6?6? A为n阶正定矩阵，则A?a11a22?ann，其中aii?i?1,2,?,n?为A的主对角元素.
?A1 证明 设A??T??，其中A1为A的n-1阶顺序主子式， ?ann?T, ??a1n,a2n????,?an1? ,n因为A正定，所以A1正定，A1?1存在，于是
0??A1?En?1 ?T?1?T1????A1??????En?1?A1?1???A10?=， ????T?1?ann??01??0ann??A1??两边取行列式得，
A=A1?ann??TA1?1??，
因为A1正定，所以A1?1正定，所以
?TA1?1??0，A1?0.
所以A?A1ann，同理A1?A2an?1,n?1，这样继续下去，可得
A?A1ann?A2an?1,n?1ann???a11a22?ann.
性质3.7 若A是正定矩阵，则Ak?k是正整数?也是正定矩阵.
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证明 因为A是正定矩阵，所以A的特征值?i?i?1,2,?,n??0，那么
?ik?i?1,?2,n??,， 0即Ak的特征值都大于0，所以Ak?k是正整数?是正定矩阵.
4 正定矩阵的应用
4.1?? 证明不等式
9 实对称矩阵A称为正定矩阵，是指如果实二次型XTAX正定，X??x1,x2,?,xn?， 而二次型XTAX正定是指对任意X0?x10,x20,?,xn0用实对称矩阵中的正定矩阵来证明不等式.
例 求证4xy?4xz?5x2?6y2?4z2?x、y、z为不全为零的实数?. 证明 设二次型f?x,y,z?=?5x2?6y2?4z2+4xy?4xz，则f的矩阵
??522??? A=2?60， ????20?4????522???52??=-80?0 2?60=26?0，?A的各阶顺序主子式a11=-5?0，?????2?6???20?4??T??T?0 ，恒有X0TAX0?0，所以可
所以A是负定矩阵，则f?0，即4xy?4xz?5x2?6y2?4z2.
4.2 求函数的极值
定义4.2.1?8? 假定f?x,y?具有二阶连续偏导数，并记
?fxx?P0? Hf?P0????fyx?P0?fxy?P0???fxx???fyy?P0???fyxfxy?, fyy??P0它称为f在P0的黑赛?Hesse?矩阵.
定理4.2.1?8? 设二元函数f在点P0?内具有二阶连续偏导数，0?x0,y0?的某邻域??P且P0是f的稳定点.则当Hf?P0?是正定矩阵时，f在P0取得极小值；当Hf?P0?是负定矩阵时，f在P0取得极大值；当Hf?P0?是不定矩阵时，f在P0不取极值.
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