洛阳师范学院本科毕业论文
例 求函数f?x,y??x2?xy?y2?2x?y的极值点. 解 由方程组
2?0??fx?2x?y? ?
f??x2?y1?0???y得f的稳定点为P,0?，fxx?P0?10?=2，fxy?P0???1，fyx?P0???1，fyy?P0??2，那么
?fxx?P0?Hf?P0????fyx?P0?fxy?P0???2?1????， fyy?P0????12??是正定矩阵，所以P,0?是f的极小值点，f?1,0???1. 0?1 多元函数的情形：
定义4.2.2 假设f?x1,x2,?,xn?具有二阶连续偏导数，并记
P0??fx1x?1?P0??fx2x?1Hf?P0???????fxnx1?P0?
它称为f在P0的黑赛?Hesse?矩阵.
fxx?P02??1fxx2?P02???fxnx2?P0??fxxn?P01???fxxn?P0?2????fxnxn?P0???，
定理4.2.2 设多元函数f?x1,x2,?,xn?在点P0x10,x20,?,xn0的某邻域??P0?内具有二阶连续偏导数，且P0是f的稳定点?f在P0?是正0点的一阶偏导数全为0?. 则当Hf?P定矩阵时，f在P0取得极小值；当Hf?P当Hf?P0?是负定矩阵时，f在P0取得极大值；0?是不定矩阵时，f在P0不取极值.
322例 求函数f?x1,x2,x3??x1?x2?x3?12x1x2?2x3的极值.
??解 由方程组
??f2?3x?12x2?01???x1??f?2x2?12x1?0 ???x2??f?2x3?2?0??x?310
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?2f得f的稳定点为A1??0,0,?1?，A2??24,?144,?1?，又f的二阶偏导数为2?6x1，
?x1?2f?2f?2f?2f?2f?12，2?2，?0，2?2，?0. 所以
?x2?x3?x1x3?x1x2?x2x3?0120??， Hf?A1???1220????002???0120?012?????288?0，所以1220其顺序主子式分别为0，?Hf?A1?是不??144?0，????122????002??定矩阵，f在A1点处不取极值.
?144120?? ， Hf?A2???1220???02??0??144120??14412??1220??288?0，其顺序主子式分别为144?0，?，所以Hf?A2??144?0????122??02??0?是正定矩阵，由定理4.2.2可知，f在A2点处取极小值，极小值为f?24,?144,?1???6913.
4.3 多项式因式分解
定理4.3.1?9? 一个实二次型可以分解为两个实系数的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2且符号差为0，或秩等于1.
该定理为利用二次型进行二次多项式因式分解提供了理论依据，同时给出了判断能否分解的方法，并且可以很快得到分解式.
例 试判断下列多项式在R上能否进行因式分解，若能，分解之.
2 ?1? f?x1,x2??x12?2x2?2x2?3x1?1 2 ?2? f?x1,x2???x12?3x2?2x2?4x1x2?1
22 解 ?1? 令g?x1,x2,x3??x12?2x2，则f?x1,x2?=g?x1,x2,1?，只需?2x2x3?3x1x3?x311
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??1?考虑g?x1,x2,x3?的秩和符号差，g所对应的矩阵为?0?3??20213?2??1??0，所以g?x1,x2,x3?的?1??秩为3，故g?x1,x2,x3?不能分解,所以f?x1,x2?不能分解.
22 ?2? 令g?x1,x2,x3???x12?3x2，则f?x1,x2?=g?x1,x2,1?，只需考?2x2x3?4x1x2?x3虑g?x1,x2,x3?的秩和符号差，作非退化线性替换
?2x2?y1?x1? ?y2?x2?x3
?y?x3?3即
?2y+2?x1=y12y? ?x2=y2?y3
?x?y3?3得，
2?y12, g?x1,x2,x3?=y2其秩为2，符号差为0，所以能因式分解，
2?y12=?y2?y1??y2?y1?=??x1?x2?1??x1?3x2?1?. f?x1,x2?=g?x1,x2,1?=y24.4?1? 最小二乘法问题
最小二乘法问题：线性方程组
?asxs?b1?0?a1x1?1ax1?2?2?ax?ax???ax?b?0?211222ss2 ?
?????anx2??2?ansxs?bn?0?an1x12可能无解. 即任何一组数x1,x2,?,xs都可能使
??ai?1n2i11x?ai2x2???aisxs?bi?
00不等于零. 我们设法找x10,x2这样的x10,x2,?,xs0使其最小，,?,xs0称为方程组的最小二乘
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解. 这种问题就叫做最小二乘法问题.
?b1??a11a12?a1s??x1??b??a??x?a?a2221222s?定理4.4.1 令A??，B???，X???，则方程组的最小二乘解满
?????????????an1a??n2?ans??b???n??xs?足AT?B?AX??0，或ATAX?ATB.
4.5?9? 判断二次曲线的形状
可通过非退化线性替换将二次型化为标准型，从而判断二次曲线的形状. 例 判断二次曲线x2?4y2?2xy?2x?2?0的形状.
解 设f?x,y??x2?4y2?2xy?2x?2，令g?x,y,z??x2?4y2?2xy?2xz?2z，则
f?x,y??g?x,y,1?，对g?x,y,z?作非退化线性替换，令
??x1?x?y?z??yy?z?1?3 ??z1?z即
??x?x1?y1?4z?31??y?y?z1 ?13??z?z1?则
g?x,y,z??x21?3y21?103z21， 从而
f?x,y??g?x,y,1??x22101?3y1?3?0， 即
310x2921?10y1?1， 所以曲线x2?4y2?2xy?2x?2?0表示椭圆.
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4.6 在?x?1的条件下求二次型f?x1,x2,?,xn????aijxixj的最值.
2ii?1nnni?1j?1定理4.6.1 设n元二次型f?x1,x2,?,xn????aijxixj，则f在条件?xi2?1下的最
i?1j?1i?1nnn?a11?a21大?小?值恰为矩阵A的最大?小?特征值，其中A??????an1a12?a1n?a22?a2n??. ????an2?ann?T证明 令X??x1,x2,?,xn?,则f?x1,x2,?,xn??XTAX,作非退化线性替X?TY,其
中T是由A的特征向量正交化得到的矩阵，故有
??1????2?， TTAT????????n??其中?i?i?1,2,?,n?是A的特征值. 所以
??1???n?2TTTT??Y???y2f?x1,x2,?xn??XAX?YTATY?Yii???i?1???n??记?M是?i?i?1,2,?,n?中的最大值，?m是?i?i?1,2,?,n?中的最小值，又
?yi2?YTY?T?1XT?1X?XTTTTi?1n??T???1X?XTX?1,
所以
?m?f?x1,x2,?,xn???M，
即f在条件?xi2?1下的最大?小?值恰为矩阵A的最大?小?特征值.
i?1n例 已知实数x,y满足x2?y2?1，求f?x,y??x2?2y2?2xy的最大值和最小值. 解 f的矩阵
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