2015-2016学年河北省唐山一中高二上学期期中考试（文）
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 过点 ?1,2 且与直线 2???3??+4=0 垂直的直线方程为 ( )
A. 3??+2???1=0 A. 3 1
B. 3??+2??+7=0 B. 2
1
C. 2???3??+5=0 C. 6
1
D. 2???3??+8=0 D. 2 3 1
2. 过原点且倾斜角为 60° 的直线被圆 ??2+??2?4??=0 所截得的弦长为 ( ) 3. 抛物线 ??=4??2 关于直线 ?????=0 对称的抛物线的准线方程是 ( )
A. ??=?16 A. 2
B. ??=16 B. ±2
??2
??2
C. ??=16 C. ± 2 D. ??=?16 D. 2 ????? =0，则 ??= ( ) 4. 已知直线 ??:????????5=0 与圆 ??:??2+??2=10 交于 ??，?? 两点且 ????
5. 如图，??1，??2 分别是双曲线 为 ( )
???2=1 ??>0,??>0 的两个焦点，以坐标原点 ?? 为圆心， ????1 ??2
为半径的圆与该双曲线左支交于 ??，?? 两点，若 △??2???? 是等边三角形，则双曲线的离心率
A. 3 B. 2
C. 3?1 D. 1+ 3
6. 如图，正三棱柱 ?????????1??1??1 的体积为 ??，点 ??,?? 分别在侧棱 ????1 和 ????1 上，????=??1??，则四棱锥 ??????????? 的体积为 ( )．
A. 2 A. 180°
??
B. 3 B. 120°
??
C. 4 C. 90°
??
D. 5 D. 135°
??
7. 已知圆锥的底面半径为 3，母线长为 12，那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆心角为 ( )
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8. 圆 ??1: ???3 2+??2=1，圆 ??2: ??+3 2+??2=4，若圆 ?? 与两圆均外切，则圆心 ?? 的轨迹是 ( )
A. 双曲线的一支
14
B. 一条直线
12
C. 椭圆 D. 双曲线
32
9. 直线 ??:??=?????1 与圆 ??2+??2=1 相交于 ??，?? 两点，则 △?????? 的面积最大值为 ( )
A.
B.
C. 1
D.
10. 如图，长方体 ???????????1??1??1??1 中，????=2，????=????1= 2．设长方体的截面四边形
??????1??1 的内切圆为 ??，圆 ?? 的正视图是椭圆 ???，则椭圆 ??? 的离心率等于 ( )
A. 3
3
B. 2
2
C. 2 3
D. 3
2
11. 设点 ??，?? 分别在直线 3?????+5=0 和 3??????13=0 上运动，线段 ???? 的中点 ?? 恒在直线
??+??=4 上或者其右上方区域．则直线 ???? 斜率的取值范围是 ( ) A. ,1
3
C. ?∞,1 ∪ 3,+∞
1
B. 1,3
D. ?∞,1 ∪ ,+∞
31
12. 已知点 ?? ?1,0 ，?? 1,0 及抛物线 ??2=2??，若抛物线上点 ?? 满足 ???? =?? ???? ，则 ?? 的最大
值为 ( ) A. 3
B. 2
C. 3
D. 2
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 已知焦点在 ?? 轴上的椭圆的离心率为 2，它的长轴长等于圆 ??2+??2?2???15=0 的半径，则
椭圆的标准方程是 ．
14. 抛物线 ??:??2=2???? ??>0 的焦点为 ??，?? 是抛物线 ?? 上的点，三角形 ?????? 的外接圆与抛物线
?? 的准线相切，该圆的面积为 36π，则 ?? 的值为 ．
15. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积等于 ．
1
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16. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是抛物线 ??2=2?? 的内接等腰直角三角形，则这个平
面图形的面积 ．
三、解答题（共6小题；共78分）
17. 如图：一个圆锥的底面半径为 1，高为 3，在其中有一个半径为 ?? 的内接圆柱．
（1）试用 ?? 表示圆柱的高；
（2）当 ?? 为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少? 18. 已知直线 ???2 ??= 3???1 ???1．
（1）求证：无论 ?? 为何值，直线总过第一象限；
（2）为使这条直线不过第二象限，求 ?? 的取值范围． 19. 已知关于 ??，?? 的方程 ??:??2+??2?2???4??+??=0．
（1）当 ?? 为何值时，方程 ?? 表示圆；
（2）在（1）的条件下，若圆 ?? 与直线 ??:??+2???4=0 相交于 ??，?? 两点，且 ???? =
求 ?? 的值．
20. 已知中心在坐标原点 ?? 的椭圆 ?? 经过点 ?? 2,3 ，且点 ?? 2,0 为其右焦点．
（1）求椭圆 ?? 的方程；
（2）是否存在平行于 ???? 的直线 ??，使得直线 ?? 与椭圆 ?? 有公共点，且直线 ???? 与 ?? 的距离等于
4 ?若存在，求出直线 ?? 的方程；若不存在，说明理由．
21. 已知椭圆
??23??
2+
4 55
，
??25??2
=1 和双曲线
??2
2??
2?
??23??2
=1 有公共的焦点．
3（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）直线 ?? 过右焦点且垂直于 ?? 轴，若直线 ?? 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为 ，求4
双曲线的方程．
22. 已知抛物线 ??:??2=2???? ??>0 ，直线 ??=????+2 与 ?? 交于 ??，?? 两点，且 ????? ????=2，其中
?? 为原点．
（1）求抛物线 ?? 的方程；
22
（2）点 ?? 坐标为 0,?2 ，记直线 ????，???? 的斜率分别为 ??1，??2，证明：??1+??2?2??2 为定值．
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答案
第一部分 1. A
2. D
【解析】过原点且倾斜角为 60° 的直线方程为 3?????=0，圆 ??2+ ???2 2=4 的圆
3×0?2 3+1 心 0,2 到直线的距离为 ??= =1，
1
因此弦长为 2 ??2???2=2 4?1=2 3． 3. D
【解析】抛物线 ??=4??2 关于直线 ?????=0 对称的抛物线为 ??=4??2，即 ??2=4??，其准线方
1
程为 ??=?16． 4. B
【解析】由圆 ??:??2+??2=10 的半径为 10 且 ????⊥ ???? 得 ???? =2 5，所以圆心 0,0 到直
5 线 ??:????????5=0 的距离 ??= 1+??2= 5，所以 ??=±2． 5. D
【解析】由题意得圆 ?? 的方程为 ??2+??2=??2，设 ????2 =2?? ??>0 ，则 ?? ??? 3??,?? ，把点 ??
??33代入圆的方程有 ??= ??，所以 ?? ?, ?? ，再把点 ?? 代入双曲线的方程得 ??4?8??2??2+4??4=0，
222
两边同除以 ??2，有 ??4?8??2+4=0，解得 ??2=4+2 3，即 ??= 3+1． 6. B
13
【解析】因为 ????=??1??，所以 ???????? 与 ??1??1???? 面积相等．
1
2
所以 ?????????????=2???????????1??1，而 ???????????1??1=???????????1??1??1????????1??1??1=3???????????1??1??1，所以 ?????????????=??．
8. A
??
11
7. C 9. B
1
1+ ?? ??
【解析】原点 ?? 到直线 ???? 的距离 ??= 1+??2， ???? =2 1???2，??△??????=2 ，因为 ?? + ?? ≥2，当且仅当 ?? =1 时取等号，所以 ??△??????≤2．
1
1
???? ???=1+??2=10. B
2【解析】提示：由题意可得椭圆的长轴长为 2，短轴长为 2，所以椭圆的离心率 ??= ．
11. B 【解析】设 ?? ??1,3??1+5 ，?? ??2,3??2?13 ，?? ??0,??0 ，则 ??0=??????=
??0??0
??1+??22
,??0=
2
3??1+3??2?8
2
，因为线段 ???? 的中点 ?? 恒在直线 ??+??=4 上或者其右上方区域，所以 ??0+??0≥4，解得 ??0≥2，又
=3?
4??0
，由 ??0≥2 得 ??????∈ 1,3 ．
???? 2
??=
???? 22
12. C 【解析】设P点坐标为 ??,± 2?? ，则
??+1 2+2??=
???1 2+2????2+4??+1=
??2+14??
=1+2??+1 4
=1+1??+??
4≤1+12 ?????=3.
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当且仅当 ??=??, 即 ??=1 时取等号，所以 ?? 最大值为 3． 第二部分 13.
??24
1
+
1
??23
=1
??24
??23
【解析】圆 ??2+??2?2???15=0 即 ???1 2+??2=16，半径为 4．所以椭圆 2??=4，??=2，又离心率为 2，所以 ??=1，??2=3，椭圆方程为 14. 8
【解析】设外接圆圆心为 ?? ??,?? ，半径为 ??，则 π??2=36π，??=6．因为外接圆圆心是三边中垂线的交点，即 ?? 在 ???? 中垂线上，又 ?? 2,0 ，所以 ??=4．因为外接圆与抛物线 ?? 的准线相切，所以圆心到准线 ??=?2 的距离为 ??+2=15. 10+2 3+4 2 【解析】由已知画出该几何体直观图如下．
??
??
3??4??
??
+=1．
=??，所以 ??=8．
该四棱锥中，????=????=????=2 2，????=2 5，????=2 6，??△??????=2×2 6× 2=2 3，??△??????=×2 2×4=4 2，故表面积为 × 2+4 ×2+×2×2×2+2 3+4 2=10+2 3+
2
2
2
1
1
1
1
4 2． 16. 8 2 【解析】由已知画出抛物线及其内接等腰直角三角形 ??????? 如下图．
??2=2??0,设 ?? ??0,??0 ，则 0，解得 ??0=??0=2．所以 ????=?????=2 2．因为 ∠??????=45°，所以平面
??0=??0图形中的 ????⊥????，同理 ?????⊥????，原平面图形如下图．
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