求递推数列通项公式的十种策略例析
递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。 一、利用公式法求通项公式
例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。 解：an?1?2an?3?2n两边除以2n?1，得
an?12n?1?an2n?a?1an33?n?， ，则nn?12222故数列{aan23??1}是以1为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得
2n2122331，所以数列{an}的通项公式为an?(n?)2n。 222an?1?an?3，说明数列2an2n?1?(n?1)2n?12nana3{n}?1?(n?1)是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列{an}的
22n2n通项公式。
二、利用累加法求通项公式
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?2n转化为
，a1?1，求数列{an}的通项公式。 例2 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1解：由an?1?an?2n?1 得an?1?an?2n?1
则an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1
?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1 ?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1(n?1)n?2??(n?1)?12所以数列{an}的通项公式为an?n2
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2n?1转化为an?1?an?2n?1，进而求出
(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。
例3 已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2?3n?1 得an?1?an?2?3n?1
则an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1
?(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)???(2?32?1)?(2?31?1)?3?2(3n?1?3n?2???3?3)?(n?1)?321
3?3n?n?2?3n?n?1 所以an?2?1?3评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2?3n?1转化为an?1?an?2?3n?1，进而求出(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。 例4 已知数列{an}满足an?1?3an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解：an?1?3an?2?3n?1两边除以3n?1，得
an?13n?1则
?an3n??an3n21?n?1， 33?21?n?1， 33an?13n?1故
an3n?(an3n?an?1aan?2an?2an?3a2a1a1)?(n?1?n)?(?)???(?)? an?1an?13?233n?23n?33231212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)???(?2)? 333333333?2(n?1)11111?(n?n?n?1?n?2???2)?1 3333331?(1?3n?1)nan2(n?1)32n11因此n， ???1???31?3322?3n3则an?211?n?3n??3n? 32221?，进n?1nn?13333an?3a2a1a1an?n)(?)?{}的通项公+…+，即得数列
33?332313n??an?1an评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?2?3n?1转化为而求出(an3n?an?13)?(n?1an?13n?1?an?23)?(n?2an?23n?2式，最后再求数列{an}的通项公式。
三、利用累乘法求通项公式
例5 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。
解：因为an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，所以an?0，则
an?1?2(n?1)5n， an则an?anan?1?an?1an?2???a3a2?a2a1?a1
?[2(n?1?1)5n?1]?[2(n?2?1)5n?2]?[2?(2?1)?52]?[2?(1?1)?51]?3 ?2n?1?[n?(n?1)???3?2]?5(n?1)?(n?2)???2?1?3
所以数列{an}的通项公式为
n(n?1)?52an?3?2n?1?n!
评注：本题解题的关键是把递推关系an?1?2(n?1)5n?an转化为
an?1?2(n?1)5n，进而求出anaaanan?1????3?2?a1，即得数列{an}的通项公式。 an?1an?2a2a1
，an?a1?2a2?3a3???(n?1) 例6 （2004年全国15题）已知数列{an}满足a1?1?1，n?1??(n?1)an?1(n?2)，则{an}的通项an??n!
，n?2??2解：因为an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2) 所以an?1?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1?nan 所以②式－①式得an?1?an?nan 则an?1?(n?1)an(n?2)
①
②
则
an?1?n?1(n?2) anaanan?1????3?a2 an?1an?2a2所以an??[n(n?1)???4?3]?a2?n!?a2 2③
由an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，取n=2得a2?a1?2a2，则a2?a1，又知
a1?1，则a2?1，代入③得
an?1?3?4?5???n?n!。 2评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?(n?1)an(n?2)转化为
an?1?n?1（n≥2），进an而求出式。
aanan?1????3?a2，从而可得当n≥2时an的表达式，最后再求出数列{an}的通项公an?1an?2a2四、利用待定系数法求通项公式
例7 已知数列{an}满足an?1?2an?3?5n，a1?6，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x?5n?1?2(an?x?5n)
④
将an?1?2an?3?5n代入④式，得2an?3?5n?x?5n?1?2an?2x?5n，等式两边消去2an，得3?5n?x?5n?1?2x?5n，两边除以5n，得3?x?5?2x，则x=－1，代入④式， 得an?1?5n?1?2(an?5n)
⑤
由a1?5?6?5?1≠0及⑤式，得an?5?0，则
1nan?1?5n?1an?5n?2，则数列{an?5n}是以
a1?51?1为首项，以2为公比的等比数列，则an?5n?1?2n?1，故an?2n?1?5n。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?5n转化为an?1?5n?1?2(an?5n)，从而可知数列{an?5n}是等比数列，进而求出数列{an?5n}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。
例8 已知数列{an}满足an?1?3an?5?2n?4，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y) 将an?1?3an?5?2n?4代入⑥式，得
⑥