式，最后再用数学归纳法加以证明。
八、利用换元法求通项公式 例13 已知数列{an}满足an?1?解：令bn?1?24an，则an?故an?1?1(1?4an?1?24an)，a1?1，求数列{an}的通项公式。 1612(bn?1) 24121(bn?1?1)，代入an?1?(1?4an?1?24an)得 24161211(bn?1?1)?[1?4?(b2n?1)?bn] 2416242即4b2n?1?(bn?3)
因为bn?1?24an?0，故bn?1?1?24an?1?0 则2bn?1?bn?3，即bn?1?可化为bn?1?3?13bn?， 221(bn?3)， 21为公比的等比数列，211?24an?()n?2?3，得
2所以{bn?3}是以b1?3?1?24a1?3?1?24?1?3?2为首项，以因此bn?3?2?()n?1?()n?2，则bn?()n?2+3，即
1212122111an?()n?()n?。
3423评注：本题解题的关键是通过将1?24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化
13bn?1?bn?形式，从而可知数列{bn?3}为等比数列，进而求出数列{bn?3}的通项公式，最
22后再求出数列{an}的通项公式。
九、利用不动点法求通项公式 例14 已知数列{an}满足an?1?21an?24，a1?4，求数列{an}的通项公式。
4an?1解：令x?21x?2421x?24，得4x2?20x?24?0，则x1?2，x2?3是函数f(x)?的两个
4x?14x?121an?24?2an?1?24an?121an?24?2(4an?1)13an?2613an?2不动点。因为，所以????。
an?3an?1?321an?2421an?24?3(4an?1)9an?279?34an?1数列{an?2a?24?2a?21313}是以1??2为首项，以为公比的等比数列，故n?2()n?1，则an?3a1?34?3an?399an?1132()n?1?19?3。
评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)?21x?2421x?24的不动点，即方程x?的两个根
4x?14x?1x1?2，x2?3，进而可推出
an?1?213an?2a?2??}为等比数列，再求出，从而可知数列{nan?1?39an?3an?3数列{an?2}的通项公式，最后求出数列{an}的通项公式。 an?3
例15 已知数列{an}满足an?1?7an?2，a1?2，求数列{an}的通项公式。
2an?3解：令x?7x?23x?1，得2x2?4x?2?0，则x=1是函数f(x)?的不动点。 2x?34x?77an?25a?5?1?n，所以
2an?32an?3因为an?1?1?352an?3212?2(1?2)?1?2，所以数列{1}是以???an?1?1an?15an?55an?15an?1an?15an?111222n?8??1为首项，以为公差的等差数列，则?1?(n?1)?，故an?。 a1?12?1an?1552n?3评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)?7x?23x?1的不动点，即方程x?的根x?1，
2x?34x?7进而可推出
1an?1?1?1211?，从而可知数列{}为等差数列，再求出数列{}的通an?15an?1an?1项公式，最后求出数列{an}的通项公式。 十、利用特征根法求通项公式
例16 已知数列{an}满足an?1?3an?an?1(n?2)，a1?a2?1，求数列{an}的通项公式。 解：an?1?3an?an?1(n?2)的相应特征方程为?2?3??1?0，解之求特征根是
?1?3?53?53?53?5，?2??c2?，所以an?c1?。 2222由初始值a1?a2?1，得方程组
?3?513?51)?c2()?1?c1(?22 ?3?523?52?1?c()?c()12?22??5?25?c1??5求得?
5?25?c?2?5?从而an?5?253?5n5?253?5n()?()。 5252评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出c1，c2，从而可得数列{an}的通项公式。