3an?5?2n?4?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y)
整理得(5?2x)?2n?4?y?3x?2n?3y。
?5?2x?3x?x?5令?，则?，代入⑥式，得
4?y?3yy?2??an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2)
由a1?5?21?2?1?12?13?0及⑦式，
⑦
得an?5?2?2?0，则
nan?1?5?2n?1?2an?5?2?2n?3，
故数列{an?5?2n?2}是以a1?5?21?2?1?12?13为首项，以3为公比的等比数列，因此
an?5?2n?2?13?3n?1，则an?13?3n?1?5?2n?2。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?5?2n?4转化为
an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2)，从而可知数列{an?5?2n?2}是等比数列，进而求出数列{an?5?2n?2}的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。
例9 已知数列{an}满足an?1?2an?3?n2?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x(n?1)2?y(n?1)?z
?2(an?xn2?yn?z)
⑧
将an?1?2an?3?n2?4n?5代入⑧式，得
2an?3?n2??4n?5?x(n?1)2?y(n?1)?z ?2(an?xn2?yn?z)，则
2an?(3?x)n2?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2an?2xn?2yn?2z2
等式两边消去2an，得(3?x)n2?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2xn2?2yn?2z，
?x?3?3?x?2x??则得方程组?2x?y?4?2y，则?y?10，代入⑧式，得
?z?18?x?y?z?5?2z??an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18)
由a1?3?12?10?1?18?1?31?32?0及⑨式，得
⑨
an?3n2?10n?18?0
an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18an?3n?10n?182则?2，故数列
{an?3n2?10n?18}为以
a1?3?12?10?1?18?1?31?32为首项，以
2为公比的等比数列，因此
an?3n2?10n?18?32?2n?1，则an?2n?4?3n2?10n?18。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?n2?4n?5转化为
an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18)，从而可知数列{an?3n2?10n?18}是
等比数列，进而求出数列{an?3n2?10n?18}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。
五、利用对数变换法求通项公式
例10 已知数列{an}满足an?1?2?3na5n，a1?7，求数列{an}的通项公式。
n5解：因为an?1?2?3na5n，a1?7，所以an?0，an?1?0。在an?1?2?3an式两边取常用对数
得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2
⑩
11 设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y) ○
11式，得5lgan?nlg3?lg2?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y)，两边消去5lgan并将⑩式代入○
整理，得(lg3?x)n?x?y?lg2?5xn?5y，则
lg3?x???lg3?x?5x?4，故? ?lg3lg2x?y?lg2?5y??y???164?11式，得lga代入○n?1?lg3lg3lg2 (n?1)??4164
12 ○
?5(lgan?由lga1?得lgan?lg3lg3lg2n??) 4164lg3lg3lg2lg3lg3lg212式， ?1???lg7??1???0及○
41644164lg3lg3lg2n???0， 4164lgan?1?则
lg3lg3lg2(n?1)??4164?5， lg3lg3lg2lgan??n??4164所以数列{lgan?列
，
则
lg3lg3lg2lg3lg3lg2为首项，以5为公比的等比数n??}是以lg7???41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n?1，因此lgan?n???(lg7???)541644164?(lg7?1?3161?241lg34lg3lg3lg2n?1lg3lg3lg2lgan?(lg7???)5?n??4164464n?lg341?lg3161?lg241?[lg(7?341?3161?24?1lg36?1lg24)5n?1)]5n?1n?lg(34)?1lg(7?341?3161?24)5n?1则
n?lg(341?316n?11?24)5n?1?n?lg(75n?1?345n?1?1?24。
5n?1?1?3165n?1?1?24)5n?4n?15n?1?lg(7?3165n?1?1?24)，
an?755n?4n?1?316评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an?1?2?3na5n转化为
lg3lg3lg2lg3lg3lg2(n?1)???5(lgan?n??)，从而可知数列41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2{lgan?n??}是等比数列，进而求出数列{lgan?n??}的通项公式，
41644164lgan?1?最后再求出数列{an}的通项公式。
六、利用迭代法求通项公式
(n?1)2例11 已知数列{an}满足an?1?a3，a1?5，求数列{an}的通项公式。 nn(n?1)2解：因为an?1?a3，所以 nnn?2an?a3n?12n?1(n?1)?2?[a3n?2n?2]3n?2
n?1(n?1)?n?2?a3n?2(n?2)?2?[a3n?33(n?2)?(n?1)n?3]32(n?1)?n?2(n?2)?(n?1)(n?2)(n?1)n?2?a3n?3(n?3)?(n?2)?(n?1)??3?a13?a1n?1
?2?3??(n?2)?(n?1)?n?21?2????(n?3)?(n?2)?(n?1)n(n?1)n?1?n!?22n(n?1)又a1?5，所以数列{an}的通项公式为an?53n?1?n!?22。
n(n?1)2评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式an?1?a3两n边取常用对数得lgan?1?3(n?1)?2nlgan，即
lgan?1?3(n?1)?2n，再由累乘法可推知lgann(n?1)2n?1lga3lga2lganlgan?1lgan???????lga1?lg53?n!?2lgan?1lgan?2lga2lga1，从而an?53n?1?n!?2n(n?1)2
七、利用数学归纳法求通项公式 例12 已知数列{an}满足an?1?an?8(n?1)8，a?，求数列{an}的通项公式。 1229(2n?1)(2n?3)解：由an?1?an?8(n?1)8及，得 a?19(2n?1)2(2n?3)2a2?a1?8(1?1)
(2?1?1)2(2?1?3)2?88?224 ??99?2525a3?a2?8(2?1)(2?2?1)2(2?2?3)2
248?348???2525?49498(3?1)(2?3?1)2(2?3?3)2
488?480???4949?8181a4?a3?(2n?1)2?1由此可猜测an?，往下用数学归纳法证明这个结论。
(2n?1)2(2?1?1)2?18（1）当n=1时，a1??，所以等式成立。 29(2?1?1)(2k?1)2?1（2）假设当n=k时等式成立，即ak?，则当n?k?1时，
(2k?1)28(k?1)
(2k?1)2(2k?3)2ak?1?ak?(2k?1)2?18(k?1)??(2k?1)2(2k?1)2(2k?3)2[(2k?1)2?1](2k?3)2?8(k?1)?(2k?1)2(2k?3)2?(2k?1)(2k?3)?(2k?3)?8(k?1)(2k?1)2(2k?3)2222
(2k?1)2(2k?3)2?(2k?1)2?(2k?1)2(2k?3)2(2k?3)2?1[2(k?1)?1]2?1 ??22(2k?3)[2(k?1)?1]由此可知，当n=k+1时等式也成立。 根据（1）（2）可知，等式对任何n?N*
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公