2．把列向量组按照Schmidt方法进行正交化； 3．得出矩阵的QR分解．
?124???例2.1 用Schmidt正交化方法求矩阵A?214的QR分解． ???122???
解 令a1??1,2,1?，a2??2,1,2?，a3??4,4,2?．将a1,a2,a3正交化得
TTTb1?a1??1,2,1?,b2?a2?T?a2,b1?b?a?b?1,?1,1T,b?a?2b?7b?1,0,?1T.??33??2133?b1,b1?121?1173??? 记C??0123?，则?a1,a2,a3???b1,b2,b3?C，再将b1,b2,b3单位化，得
?001????666??3?33??2?2?q1???6,3,6??,q2???3,3,3??,q3???2,0,2??．
???????6?663322????0?，记H??0令Q??q1,q2,q3?=?63?33????0?66?33?22???则?a1,a2,a3???b1,b2,b3?C??q1,q2,q3?HC，
TTT0300??0?， ?2???6?R?HC??0??0?0307??11?3??60?????2?0??01=?0??3????2?001??0???????630763??233?，则有A?QR．
?2??2、Givens变换法求矩阵的QR分解
在平面解析几何中，使向量x顺时针旋转角度?后变为向量y的旋转变换为
?cos?y????sin?sin???cos??x?Ax ，其中A???sin?cos???sin???．因为旋转变换不改变向量的模，cos??所以它是正交变换，从而A是正交矩阵，且detA?1．
定义2.3 一般的，在n维欧式空间R中取定一组标准正交基e1,e2,L,en，在平面
— 2 —
?3?n
??ei,ej??中旋转，它的矩阵表示是
?1??O?????Rij?????????????????????rij?， ???????1?1cos?1O1?sin?cos?1Osin?rii?cos?,rij?sin?,rji??sin?,rjj?cos?，?为旋转角，其他元素为0．
令c?cos?,s?sin?，则c?s?1，这时
22?1??O?????Rij??????????1c1O1?sc1Os???????????rij?， ???????1?Rij叫做Givens矩阵（初等旋转矩阵），它所确定的线性变换叫做Givens变换（初等旋转
变换）．
Givens变换可以将向量或矩阵中指定的元素化为零．
定理2.2 设A是n阶非奇异实矩阵，则存在由有限个初等旋转矩阵的乘积构成的正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使得A?QR．
?2?— 3 —
?110???例2.2 用Givens变换求矩阵A??101?的QR分解．
??011??解 （1）对A的第一列?1??1,1,0?T，取
?22220?c?x1x2x2?x2?2220?122,s?x22?2,T?12???22?，则
1?x22???001????220?22T12?1??2,0,0?T?110??2,T?2212A????22220??????22??001??101???????011???0??01（2）然后对T?1?2?12A的右下方子矩阵A????2221?11?， ?取c?x1x2??336x22??3,s?x22?6,T?3?23?1?x231?x23????63?33?， ?T则T?1????6??6223?1??1?66??2,0??，则T?． ?23A????0?233???（3）再令T???10??22220???0T?T12??66?6666?，于是得到 23????33?33?33????22220??110??22222?R?TA????66?6663????101????6266??,??33?33?33??0????011?????00?233????226633Q?T?1????22?66?33??．
???063?33???— 4 —
22?22??1?.??
3、Householder变换求矩阵的QR分解
一般的，在R中，?是非零的单位向量，将向量?映射为关于与?正交的n?1维子空间对称的向量?的镜像变换定义如下．
定义2.4 设??R是非零的单位向量，n阶矩阵H?En?2??T称为Householdern矩阵(初等反射矩阵)，变换??H?（??R）称为Householder变换（初等反射变换）．
n?3?n定理2.3 设A是n阶非奇异矩阵，则存在由有限个初等反射矩阵的乘积构成的正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使得A?QR．
?3??041???例2.3 用Householder方法求矩阵A??111?的QR分解．
?032???解 （1）对A的第一列?1??0,1,0??0,?1?1，取单位向量
T???1e1??22?，于是
?1?1??,,0???2?1??1e1?2??111??010?????H1?E3?2?1?1T??100?，从而H1A??041?．
?032??001?????（2）对A?1?T?41?T1?1???4,3,?1???5，取单位向量的第1列????1??32???10310????10,10??， e1??T?2??1?1???1?1?e1?1?1???1?1?T作H2?E2?2?2?2??2??4535??1??5，从而HA?2??． ?0?135?45????0??010??010?10??10???????（3）令S???H1??04535??100???45035?，从而可得
?0H2??035?45??001??350?45???????— 5 —
?111??04535??10??????1TR?SA??0?． ?H1A??052?，以及正交阵Q?S?S??10?0H2??035?45??00?1?????4、利用初等变换求矩阵的QR分解
矩阵的初等变换共有三种，其中把数域P上矩阵的某一行(列)的c倍加到另一行(列)上，这种初等变换称为第三种行(列)初等变换（c为任意实数）．
TT??定理2.4 设A是一m?n实矩阵，若A是列满秩矩阵，则AA对称正定，因而AA有
4TT唯一的三角分解式AA?LDL，其中L是单位下三角，D是对角元全为正数的的对角矩阵．
定理2.5 若Am?n是一个列满秩矩阵，则A总可经过一对第三种行和列的初等变换分解为A?QR的形式，其中Q是一个列正交矩阵，R是非奇异上三角矩阵．
步骤：
T1．求出对称正定矩阵AA；
?4?T 2．对AA同时进行相应的第三种初等行和列变换，得到对角矩阵且主对角线上元素全为
正实数．因为对矩阵施行行初等变换相当于用相应的初等矩阵左乘该矩阵，对矩阵施行列初等变换相当于用相应的初等矩阵右乘该矩阵，所以存在下三角矩阵B和上三角矩阵B (显然可逆)，使得BTATAB?diag?d1,d2, 3．设C?diagT??,dn?，?di?0,i?1,2,,n?；
??1d1,d2,T,dn，
?C?1BT?ATA?BC?1??ABC?1??ABC??E，其中E为单位矩阵．
?1?14．令Q?ABC，则Q是一个列正交矩阵，R?CB是一个非奇异上三角矩阵，即得分解式．
?2?2例2.4 用初等变换求矩阵A???2??412132??1?的QR分解． 3??3??28?T解 AA?20??24?2015162?4?，对ATA只用第三种初等变换 1?62??3— 6 —