?100??100??100????????1P10?，P2?1??010?，P3?1??010?， 1??2?001??301??011????????1?1?1令L?P1P2P3，则
?100??100??100??100?????????L??210??010??010???210?．
?001??301??011??311??????????100??123?????故A?LU，即A??210??0?2?5?．
?311??00?2?????于是方程组变为?LU?X?b或L?UX??b． 令UX?y，则有Ly?b，其中y??y1,y2,y3?．
y1?2?100??y1??2?????????于是有210y2?3，即?2y1?y2?3 ，
???????3y?y?y?4?311??y??4?3???3????123??x1??2??12?y1?2???????容易求得?y2??1 ．又解?0?2?5??x2????1?，
?00?2??x???1??y??1???3????3???x1?2?x1?2?x1?2x2?3x3?2??33???即??2x2?5x3??1 ，可求得?x2??， 故原方程组的解为?x2??．
44????2x??13?11??x?x?33???2?2
2、Doolittle分解法
?a11??a21令A?????a?n1a12a22?an2?a1n??1??u11u12?u1n???????a2n??l211u22?u2n???? ??????????????????????ann??ln1ln2?1??unn??第1步：L的第1行乘以U的第1,2,?,n列：
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u1j?a1j?j?1,2,?,n?．
L的第2,3,?,n行乘以U的第1列：
li1?可得
ai1?i?2,3,?,n?． u11?u1j?a1j,j?1,2,?,n,??l?ai1,i?2,3,?,n. i1?u11?第2步：L的第2行乘U的第2,3,,n列：
l21u1j?u2j?a2j?j?2,3,?,n?
．．．．．．
最后可得
k?1?ukj?akj??lktutj,j?k,k?1,?,n,??t?1 （3.1） ?k?1???lik??akj??litutk?ukk,i?k?1,?,n.?t?1????211???例3.2 用Doolittle分解法求矩阵A??132?的LU分解．
?122????211??10???解 令A??132???l211?122??l???31l32得 u11?2,u12?1,u13?1,l21?0??u11u12??0??0u221??0??0u13??u23?，代入公式（3.1） u33??115333,l31?,u22?,u23?,l32?,u33?， 22225500?1? ?1?21????L??1210?,U??05232?.?12351??0035?????3、Cholesky分解
当A是对称正定时，A有如下分解： 定理3.4 若A?R?5?n?n对称正定，则存在唯一的对角元为正的下三角形矩阵L，使A分
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解为A?LL，这种分解称为Cholesky分解．
?a11??a由A??21???a?n1a12a22?an2????a1n??1??a2n??l21????????ann???ln101?ln2????0??1l21??0??01????????1???00?ln1???ln2?，
?????1??T得aij??lk?1j?1ikjkl?lijljj?i?j,j?1,?,n?．
12j?1?2?a?l当i?j时，有ljj???jj?jk??k?1???j?1,2,?,n? （3.2）
当i?j时，有lij?aij??likljkk?1j?1ljj?i?j?1,?,n?， （3.3）
ai1，对j?2,3,?,n，由式（3.2）和式（3.3）逐l11注 当j?1时，有l11?a11，li1?列求得L的元素lij，即得A的Cholesky分解．
2?4??5??例3.3 用平方根法分解矩阵A??21?2?．
??4?25???解 先验证系数矩阵为对称正定，对称是显然的，又?1?5?0，?2?5221?1?0，
?3?detA?1?0，故A对称正定．可用Cholesky分解，由式（3.2）和（3.3）计算求得
l11?5,l21?2412,l31??,l22?,l32??,l33?1． 5555?500???550?，A?LLT． 于是L??255????455?2551???ky注 Choles分解法要求用到开方运算，为避免开方运算，可将A分解为A?LDL(其
中L为单位下三角矩阵)，这种分解方法称为改进平方根法．
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T
四、矩阵的满秩分解
（一）矩阵满秩分解的基本概念及定理
定义4.1 设A是m?n矩阵，rank?A??r>0．如果存在m?r的列满秩矩阵F和
?8?r?n的行满秩矩阵G，使得A?FG，则称此分解为矩阵A的满秩分解．
定理4.1 任何m?n矩阵A?A?0?都有满秩分解．
?9?实际上对任何一个矩阵只需用第三种初等变换就可将其化为阶梯形，而第三种初等矩阵
P?i,j?k??的逆矩阵为P?i,j??k??，若干个第三种初等矩阵的乘积仍为初等矩阵．
（二）矩阵满秩分解的常用方法及应用举例
1、利用初等变换法
?1332???的满秩分解．
例4.1 求矩阵A?26126????1?330???3?1?0解 A??0??1?3?3632??1??2??0??0???03003?2???6??2??6??2?1003?2??G?0?6??2?，其中各个变
0???0?003换所对应的初等矩阵依次为
?100??100??100??1332???????P??210P?010P?010，，，G?123??， ???????0062??001??101??0?11????????100??100???，则?1??． P?PPP??210P?210321?????3?11???111??????10??10????1332????1取P的前两列构成F?21，则A?FG??21???． ??0062???11????11?????
2、化为Hermite标准形求满秩分解 定义4.2?10? 设H是m?n矩阵，rank?H??r，满足：
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(i)H的前r行中每一行中至少含有一个非零元素，且每行第一个非零元素是1，而后m?r行元素均为0．
(ii)设H中第i行的第一个非零元素1位于第ji (i?1,2,,r)列，有j1?j2??jr．
(iii)H的第j1,j2,,jr列构成m阶单位矩阵I的前r列．
则称H为A的Hermite标准形．
实际上矩阵A的Hermite标准形就是在阶梯形基础上进一步化为最简形，再到标准形．
Hermite标准形方法求矩阵的满秩分解，省去了求初等行变换矩阵的逆矩阵，方法更简
便，效率更高．
??23154?例4.2 求矩阵A??12133???35287??的满秩分解． ?13245??解 经过行初等变换，我们有
??23154??12133??11A??12133?3154??????2133??0?1?1?1?2????10?1?01?35287???2?35287??11?0?1?1?1?2???0000?13245????13245????01112????0000??23? 故矩阵A的秩为2．令B??12??5??，C???10?11?1?C为矩阵A的?3?0111?，则A?B?13?2??一个满秩分解．
注 该例中矩阵A的列向量极大线性无关组不唯一，导致其满秩分解也不唯一． 取不同的列向量极大线性无关组，则可得到不同的满秩分解．例如取第1，3列为极大线性无关组，则
??23154?1021?A??12133??1112??7??12133?0?1?1?1?2????????10?1?1?1?2???0?3528?0000??， ?13245????01112???0?00000????21?此时令B1?1??1?2??，C?11021?1???3011?，则A?B1C1为矩阵A的另一个满秩分解．
?12??12??— 16 —
?1?2??0?.0??