再如取第1，4列为极大列无关组，则
?2?1A???3??13253112253844??12133??1?1?2????3?0?1?1?1?2? ??011 ???0?1?1?1?2??0007?????5?01112???0000?3??12?，
00??00??2?1?此时令B2??3??1秩分解．
5??3??1?1?20?3?，C2???，则A?B2C2为矩阵A的另一个满8?01112???4? 注 矩阵A的秩r永远不会超过其行数m和列数n．如果n阶方阵A的秩r远小于其阶数n，则满秩分解可以大大简化求解方程特征值的计算．
设n阶方阵A有满秩分解A?BC，我们有
?En?A??En?BC??n?r?Er?CB (4.1)
如果n阶方阵A的秩r远小于其阶数n，则通过上式右边的行列式来求A的特征值要比直接计算左边的行列式要简单得多．
?11?11?例4.3 求n阶矩阵A????11T1??1?的特征值． ??1?解 易知矩阵A的秩为1，其满秩分解为
A??1,1,L,1??1,1,L,1?，由等式(4.1)得
?En?A??n?1???n?，所以矩阵A的特征值为 ?1??2?
??n?1?0,?n?n ．
五、矩阵的奇异值分解
（一）矩阵奇异值分解的基本概念及定理
奇异值分解是现代数值计算的最基本和最重要的工具之一．矩阵的奇异值分解在优化问题、特征值问题、最小二乘问题、广义逆矩阵问题及统计学等方面都有着重要的应用．
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引理5.1 设A?C引理5.2 设A?C?6??6?m?nHH，则rankAA?rankAA?rank?A?．
????m?n，则
HH（1）AA与AA的特征值均为非负实数；
HH（2）AA与AA的非零特征值相同，并且非零特征值的个数（重特征值按重数计算）
等于rank?A?．
定义5.1?6? 设A?Cm?n，如果存在非负实数?和非零向量u?C，v?C使得
nmAu???,AH???u，则称?为A的奇异值，u和?分别称为A对应于奇异值?的右奇异向
量和左奇异向量．
设A?Cm?nH，rank?A??r，且AA的特征值为?1??2???n ．由引理5.2知，
?1??r??r?1??6?记k?m??n?0，in?mn,称?i??i?i?1,2,?，,Lk?为A的奇异值.
定理5.1 设A 是m?n矩阵，且rank?A??r，则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V使得A?U???0?H?V ，
?00?其中??diag??1,?2,L,?r? ，且?1??2?L??r?0.
（二）矩阵奇异值分解的常用方法及应用举例
求解奇异值分解的步骤如下：
H1、确定?，计算AA，求其特征值?i，可得A的正奇异值?i??i,i?1,2,L,r．则
??diag??1,?2,L,?r?，且?1??2?L??r?0．
2、确定V，求非零特征值对应的特征向量pi，将其用Schmidt正交化法化为正交向量
vi?i?1,2,L,r?，即得V1??v1,v2,L,vr?．再取V2和V1的列向量拼成Cn的标准正交基，即
得到Vn?n??v1,L,vr,vr?1,L,vn?．
3、确定U，求U1?Cm?r，取V1??v1,v2,L,vr?，??diag??1,?2,L,?r?，计算
U1?AV1??1．在Cm中取U2?Cm??m?r?，使得U1与U2的列向量成Cn的标准正交基，从而
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??0?HU??U1,U2?为酉矩阵，则A?U??V．
?00??0??1例5.1 求矩阵A???0??1解 因为AA??H1??0?的奇异值分解． 2??0??20?H? ，所以A的非零奇异值为2,5．AA对应于特征值5和2?05?的标准正交特征向量为v1???，v2???，则V???1?1??0??T?0??1??01?HAA?．而对应于特征值5和2?0?T?5??25??2?AAH对应于特征值0的标准正交特征向量为u1??,0,,0,u?0,,0,.???2?5?5?22??????25?5?22?的标准正交特征向量为u3????5,0,5,0??,u4???0,2,0,2??,
???????故U???2??5505500?22022?25505500??22?? 0??22?TT因此A的奇异值分解为
?0??1A???0??11????0?????2?2?0???5505500?22022?25505500????22????0????22??50000??H01??2???10?． 0???0??
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六、结论
本文首先介绍了矩阵分解的定义及相关定理，然后着重探讨了几种特殊类型的矩阵分解形式，如QR分解，三角分解，满秩分解，奇异值分解等，并对这些分解形式的各种分解方法进行了全面的归纳和总结，最后对这些不同的分解方法给出了相应的应用举例．从这些不同的分解形式中，我们可以看出矩阵分解对于解决代数学中的许多问题都具有非常重要的意义．它不仅能够简化计算，而且在求矩阵的秩，特征值以及解线性方程组等方面优势显著．对于矩阵的分解，其内容非常丰富，除上面提到的几种分解形式外，还有其它的一些分解形式，如谱分解、Schur分解等．由于时间仓促和本人水平有限，对矩阵分解理论的探讨也只是浅尝辄止，未能面面俱到，但是对矩阵分解理论的研究仍然是十分必要的．
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