∴EC是O的切线，∴DE?EC，∴AE?EC， 又∵DE?10，∴AC?2DE?20， 在Rt?ADC中，设BD?x，
在Rt?BDC中，BC2?x2?122，在Rt?ABC中，
BC2?(x?16)2?202， ∴
DC?202?162?12，
x2?122?(x?16)2?202，解得x?9，
∴
BC?122?92?15．
23.解：过点P作PD?AB于点D． （1）在图1中，∵?A?30?，PA?2x， ∴
， 1PD?PA?sin30??2x??x2∴
1112， y?AQ?PD?ax?x?ax2221，则11， 2y?a?1?222由图像得当x?1时，
∴a?1．
（2）当点P在BC上时（如图2），PB?5?2?2x?10?2x， ∴PD?PB?sinB?(10?2x)?sinB， ∴
． 11y?AQ?PD?x?(10?2x)?sinB22由图像得，当x?4时，
4，
y?
3
∴14，∴1，
?4?(10?8)?sinB?sinB?23311125. y?x?(10?2x)???x?x2333∴
（3）由C，C的函数表达式，得121125．
x??x?x2332解得x?0（舍去），x?2．
12由图像得，当x?2时，函数
， 12的最大值为12y?xy??2?222将y?2代入函数
125，得125，
y??x?x2??x?x3333解得x?2，x?3，
12
∴由图像得，x的取值范围是2?x?3． 24．解：设AE?a，则AD?na，
（1）由对称得AE?FE，∴?EAF??EFA，
∵GF?AF，∴?EAF??FGA??EFA??EFG?90?， ∴?FGA??EFG，∴EG?EF， ∴AE?EG．
（2）当点F落在AC上时（如图1），由对称性得BE?AF， ∴?ABE??BAC?90?，
∵?DAC??BAC?90?，∴?ABE??DAC， 又∵?BAE??D?90?， ∴?ABE?DAC，∴ABAE，
?DADC∵AB?DC，∴AB2?AD?AE?na?a?na2． ∵AB?0，∴AB?∴ADna，
． na??nABna
（3）若AD?4AB，则
n．
AB?a4
当点F落在线段BC上时（如图2），EF?AE?AB?a． 此时n，∴n?4，
4a?a∴当点F落在矩形内部时，n?4．
∵点F落在矩形的内部，点G在AD上，∴?FCG??BCD，∴?FCG?90?．
①若?CFG?90?，则点F落在AC上，由（2）得ADAB?n，即4ABAB?n，∴n?16．
②若?CGF?90?（如图3），则?CGD??AGF?90?， ∵?FAG??AGF?90?， ∴?CGD??FAG??ABE， ∵?BAE??D?90?， ∴?ABE∴AB?DGC，
AE， ?DGDC，
∴AB?DC?DG?AE，即n(a)?(n?2)a?a42解得
n1?8?42，n2?8?42?4（不合题意，舍去）．
∴当n?16或n?8?42时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形．