当x?0时，f??x??2x,当x?0时,f??x???1,??0??limf??x??lim?2x??0,f???0??limf??x??lim??1???1,故f??0?不存在.而f?x?0?
x?0?x?0?x?0?7．√
8.?提示：令f?x??0,g?x???1??0当x?0,当x?0.当x?0,?1g?x???当x?0.?01a2
当x?0,当x?0.9.?提示：考虑函数f?0?x????110．√ 提示：所考虑的切线是g?x???得x＝a．
?x?a??1a的图象，令f（x）＝g（x）只解
11．√ 提示：从导数的定义出发证明． 12．× 提示：事实上，由函数定义得
g??x??limg?x?h??g?x?hh?0?limf?cx?ch??f?cx?hh?0?limc?f?cx?ch??f?cx??chh?0.设ch?k,当h?0时k?0.?g??x??clim
?climf?cx?k??f?cx?kk?0?f?cx?k??f?cx??kk?0?cf??cx?.13．√ 提示：利用导数定义证明． 14．× 提示：考虑函数f?x??15．√ 16．×
17．× 提示：根据导数定义lim数不相等．
18．× 提示：limf?x??limxarctanx?0x?0x,x??0,1?，当x＝0时f（x）＝0，而f??x???.
f?x??f?0?x?01xx?0?lim|sinx|x知，在x＝0处左导数与右导
x?0?0?f?0?，所以f（x）在x＝0处连续，但
x?0lim?f?x??f??0?x?lim?arctanx?01x???2.
f?x??f?0?x同理limx?0f?x??f?0??x??2,所以lim不存在，即f（x）在x＝0处不可导．
??x?019．√ 提示：利用复合函数求导公式及?secx??secx?tanx,?tanx??sec2x. 20．√ 提示：①原式两边取常用对数得lny＝x[lnx－ln（1＋x）]，②两边对x求导，
11?x1?1?y???lnx?ln?1?x???x???. ??lnyx1?x1?x1?x??21．√
22．√ 提示：
y???1x?asinlnx?bcoslnx?,y???1x2?asinlnx?bcoslnx?acoslnx?bsinlnx?.
23．× 提示：满足的关系式应为xy???12y??14y?0.
24．× 提示：x?25．√
dydy????1???1??4sint.所以在t?处??2. ??,y???,又dx6dx?6?2?6?226．× 提示：考虑函数f?x??1x2，当a≠0时,f在点?a,??1??的切线与f的图象相交2a?于另一点,这一点位于y轴的另一边．
27．× 提示：当a是整数时，f间断，f?无定义．当n
f??a??limf?a??x??f?a??x?x?0?lim?a??x???a??x??a??a??xh?0?x?0?1.
f?h?h28．√ 提示：|f?h?/h|?|h|??2,因α－2<0，故lim|h|??2??,因而lim29．√ 提示：这是
00不存在．
h?0型，若用洛必达法则求极限计算非常繁琐，现在借用泰勒公式展
335????x25xx662x??x?oxx???ox?????x31535????开求极限lim2?limx?0tanx?arctanx?xx62????x?06?limx?0x6
9x?oxx6??6?29.
30．× 提示：左右导数存在且相等．
31．√
32．√ 提示：a，b，c，d必须满足下列关系式a－d＝0,b＋c＝0,a＝1,b＝0．
dydxy?tx?t??11?t2?t?1??.
11?t21?t33．× 提示：?34．×
35．√ 提示：f??x??f???x????f?n??x??ex,f?n?1???x??e?x
36．√ 提示：根据函数单调性的判定方法．
37．√ 提示：在（－∞，0]上单调减少，而（0，＋∞）上单调增加． 38．√
39．√ 提示：利用函数的单调性证明不等式．设f?x??2x??3??f??x??1x1x2?1??，则x???1x2?xx?1,f（x）在[1，＋∞]上连续，在（1，＋∞）内f??x??0，因此
?[1，＋∞）上单调增加，从而当x>1时，f（x）>f（1），由于f（1）＝0，故f（x）>f（1）
＝0，即2x?3?1x?x?1?.
40．× 提示： f（x）在（－∞，2）和（2，＋∞）内设有极值点，但在（－∞，2）内，f??x??0，函数f（x）单调增加，在（2，＋∞）内函数单调减少，又f（x）在点x＝2连续，故x＝2是函数f（x）的极大点．
41．× 提示：由f??x??0得两个驻点x1??2,x2?1，再比较f（－2），f（1）,f（－3）,f（4）的大小，即可得最大值f（4）＝142，最小值f（1）＝7．
42．√ 43．√
44．× 提示：在x＝0处取得极小值．
45．√ 提示：有两种方法证明：证法一，由题设知f（x）在[a，c]，[c，b]上满足拉格朗日中值定理条件，则有
f?c??f?a?c?a?f???1?,?1??a,c?．
f?b??f?c?b?c因?f???2?.?2?[c,b]．
为f（a）＝f（b）＝0,f（c）>0．所以f???1??0,f???2??0.又因为f??x?在??1,?2???a,b?上满足拉格朗日中值定理条件，于是有
f???2??f???1??2??1?f?????,????1,?2?，由于
f???1??0,f???2??0，?1??2，所以f??????0,???a,b?.证法二，因为f（x）在（a，b）
内只有二阶导数，对（fx）在x0?c点用台劳展开式：f?x??f?c??f??c??x?c??当f??c??0时，在上式中取x?a，即得f?a??f?c??f??c??a?c??1212f??????x?c?22f????1??a?c?,?1??a,c?，
又因为f（a）＝0，f（c）>0,a f?b??f?c??f??c??b?c??12f????2??b?c?,?2??c,b?，因为f（b）＝0,f（c）>0,b>c,f??c??02有f????2??0.综上述，f??????0,???a,b?. 二、填空题 1．3 2．充分条件 必要条件 3．mn xcos21x?0?0,并取得u＝g（x），则有 4．0 提示：g??0??lim从而得到 ddxf?g?x??ddxx?0xf?g?x???f??u?g??x?， x?0??f??u??g??x??x?0?f??0?g??0??0. d?d?5．?33 6．－1 提示：－h是自变量的增量． 7．?? 8．0 提示：f??0??lim3f?x??f?0?x?0x?0??limf??x??f?0??x?011.x?0??f??0?. 3179.?3?x?y??1????0??26??10.y?2?x?1?2515,12.secx ?22t?1,??1?t213.???2t2?1.2??1?t14.?1y315.3?216.?xy,?2y3 17．1 提示： limf?x0?2x??f?x0?x?x10x?0?lim?f?x0?2x??f?x0????f?x0?x??f?x0??xx?0 ??2f??x0??f??x0?.18.10?2提示：??2?tanx?10?210?2?sinx?10?210? 原式?lim???x?0sinx?sinx???lim?2?10tanx?10?210x?0tanx?lim10?2?sinx?10?sinx?10?2.10?210x?0 ??2?x????x?0??2?x????x?019．3x－y－7＝0 20． 1e 提示：曲线在（1，1）处的切线斜率k?f??1??n，故切线方程为y－1＝n（x 1?1??1?，所以limf??n??lim?1???. n??n??n?en?－1），令y＝0，得与x轴的交点?n1ndy3t?2t21.提示：???1?t??3t?2?,1tdx1?1?t ?2?6t?5??t?1?dyd?dy???1?t??3t?2?????.??2?dx?dx?tdx?t?ln?1?t???6t?5??t?1?2??1?n?2?n!2??fx?22．提示： 1?x?1?x?n?1f????x???2?3!?1?x?,?? ?4?1，所以f??x???2?1?x??2,f???x??2?2?1?x??3, 23．－2 提示：limf?1??f?1?x?2x?12limx?0f?1?x??f?1??x?12x?0f??1?,所以f??1???2. 24．－2 提示：因为f（x）在（－∞，＋∞）内可导，且周期为4，所以f（5）＝f（4＋1）＝f（1），即求曲线在（5，f（5））处的切线斜率等于曲线在（1,f（1））处的切线 斜率． ??1131????2?25．??,y,? 提示：y?1?2?234?1?x????1?x??2?4x223?1?x???，令y???0得拐点??的横坐标x???31?,?. ,故拐点为???34?3??32?22???26.?,?22???提示：y???4e?x2?21?. ?x???0得|x|?22???6?2k?,5?6?2k?，当 27． ??6?3,2???1? 提示：y??1?2sinx,得f（x）的驻点为 在区间?0,?内考虑时，仅有一个驻点,f????6?6?6?2?（x）在?0,?上的最大值为?26?????????????????3,f?0??2,f???,比较后得知，f ?2?23，而当考虑区间[0，2π]上的最大值时，需比较f（0）, f（2π）,f?????5???,f??四个值的大小． 66????f?x??f?0?x?0?lim?x?1??x?2????x?1000x?028．1000！ 提示：f??0??limx?0??1000!. 29．1986 提示：只要注意f??1??limf?x??f?1?x?1x?1?lim?x331?1?g?x??0x?1?x?1?lim x?1?x330?x329???x?1?limg?x??331?6?1986. x?1?30．0 31．（－1，0），（0，＋∞） 32．y＝1,x＝±1