第二章 多元正态分布
（一）教学目的
通过本章的学习，要求对多元分布的基本概念有所了解，掌握多元正态分布数字特征及其参数估计，尤其是多元正态分布的假设检验。 （二）基本要求
要求了解多元分布的基本概念，掌握多元正态分布的参数估计和假设检验。 （三）教学要点
1、多维随机向量的边缘密度、条件分布、数字特征 2、多元正态分布数字特征及其参数估计 3、三个常用的抽样分布 4、正态分布总体均值向量的检验 （四）教学时数 3课时 （五）教学内容 1、多元分布的基本概念
2、多元正态分布数字特征及其参数估计
3、三个常用的抽样分布及多元正态分布的假设检验
第一节 多元分布的基本概念
多元统计分析主要方法是建立在多元正态分布的假设之上的。而多元正态分布又是多元分布中应用最广泛的一种。为此，在介绍多元统计分析方法之前，首先有必要介绍多元正态分布的有关内容。另外，多元统计分析涉及到的都是随机向量或着将多个随机向量放在一起组成的随机矩阵。为此，学习多元正态分布还需要首先从随机向量的基本概念开始。
多元统计分析，简称多元分析，是指当总体的分布是多维（多元）概率分布时，处理该类总体的数理统计理论和方法的总称,是统计学中的一个重要的分支学科。
早在19世纪就出现了处理二维正态总体的一些方法，但系统地处理多维概率分布总体的统计分析问题，则开始于20世纪。人们常把1928年维希特(Wishart)分布的导出作为多元分析成为一个独立学科的标志。20世纪30年代，R.A.费希尔、H.霍特林、许宝騄以及S.N.罗伊等人做出了一系列奠基性的工作，使多元统计分析在理论上得到了迅速的进展。20世纪40
年代，多元分析在心理、教育、生物等方面获得了一些应用。由于应用时常需要大量的计算，加上第二次世界大战的影响，使其发展停滞了相当长的时间。50年代中期，随着电子计算机的发展和普及，它在地质、气象、标准化、生物、图像处理、经济分析等许多领域得到了广泛的应用，也促进了理论的发展。
一、随机向量
我们知道，所谓随机变量通俗理解就是“其值随机会而定”的变量。比如，在某厂大批产品中随机地抽取出100个，其中所含废品数X就是一个随机变量。这里X是一维的，所以就称为一维随机变量，简称为随机变量。再如，我们考虑一个打靶试验，在靶面上取定一个直角坐标系，则命中的位置由其坐标?X,Y?来刻划，X,Y都是随机变量，而这里X,Y是二维的，所以称为二维随机变量或二维随机向量。多维随机变量或多维随机向量的意义可以据此推广。为此，设X1,X2,?,Xp为p个随机变量，由它们组成向量X?X1,X2?Xp，则称作p维随机向量（p维随机变量）。在统计上，对多维随机向量的研究和对一维随机变量的研究是一样的，要通过样本资料来推断总体的，为此，针对样本情况下，多维随机向量的表示形式可如下进行。
如对于某个容量为n的样本资料，实际上就是对p个随机变量X1,X2,?,Xp进行n次观察，所得数据形式如下：
????x11??x21X?????x?n1我们常把每一次观察叫做一个样品。
x12x22?xn2?x1p???x2p? ?????xnp??关于随机变量（及向量）的研究，是概率论的中心内容，也是统计分析的基础概念。随机变量按其可能取值的性质，区分为两大类。一类是离散型随机变量，其特征是只能取有限个值；另一类是连续型的随机变量，其特征是变量的全部可能取值不仅是无穷多的，并且还不能无遗漏地逐一排列，而是充满一个区间的。同样随机向量也有离散型和连续型之分。对于一个多维随机向量，如果其每个分量都是一维离散型随机变量，则称为多维离散型随机向量；如果把一个p维随机向量的取值可视为p维欧氏空间中的一个点，若p维随机向量的全部取值能够充满欧氏空间中某一区域，则称该p维随机向量为连续型的。 二、多元分布函数和多元密度函数
人们研究随机变量，不只是要看它能够取哪些值，更重要的是它取各种值的概率如何。认识随机变量的取值规律，也就是要研究随机变量取值的概率分布。刻划随机变量取值及其概率分布是通过函数的形式来进行的，具体这种函数有两种形式，一种叫概率分布函数简称分布函数，一种叫概率密度函数简称密度函数。
刻划多维随机向量取值及其概率分布同样也是通过分布函数和密度函数的形式来进行的。
（一）多元分布函数
设X?X1,X2?Xp是一随机向量，它的多元分布函数定义为：
???F?x??F?x1,x2,?xp??P?X1?x1,?Xp?xp?
式中x?x1,x2,?xp?R（Rp表示p维欧氏空间），并记为X~F(x)。多维随机向量的统计特性可用它的分布函数来完整地描述。
（二）多元分布密度
对于离散型的多维随机向量。设X?X1,X2?Xp是p维随机向量，若存在有限个或可列个p维数向量x1,x2,?,记P(X?xk)?pk(k?1,2,?)且满足p1?p2???1，则称X为离散型随机向量，称P(X?xk)?pk(k?1,2,?)为X的概率分布。 对于连续型的多维随机向量。设X~F(x)＝Fx1,x2,?xp，且存在一个非负函数
??p?????f?x1,x2,?xp?对一切x??x1,x2,?xp??Rp有
F?x??F(x1,x2,?xp)????f?t1,t2?tp?dt1?dt2存在
????x1xp则称X为连续型随机向量，称fx1,x2,?xp为X?X1,X2?Xp的联合分布密度函数，简称联合分布密度。
p一个p个变量的函数fx1,x2,?xp能作为R中某个随机向量的分布密度，当且仅
???????当：
（１）f?x??0（2）
?x?Rp
?f?x?dx?1
Rp离散型随机向量的统计特性可由它的概率分布完全确定，连续性随机向量的统计特性可
由它的分布密度完全确定。
（三）密度函数和分布函数的关系
从数学角度看，随机向量的密度函数、分布函数之间的关系可以理解为导数和积分之间的关系。通俗的理解，密度函数、分布函数之间实际上是对随机向量的统计特性分别从两个不同侧面进行的刻划，前者是一个一般意义的函数，后者则是自变量为累计值的函数，是一个问题的两个方面。
三、 多维随机向量的边缘密度、独立性与条件分布
多维随机向量的分布函数、密度函数实际是对随机向量的统计特性从总体上进行的描述和刻划。由于多维随机向量中包括着多个一维的随机变量，当要研究某个随机变量，或其中一部分随机变量的统计特性，以及各个随机变量之间关系特征时，还需要给出进一步的描述手段，这就需要给出多维随机向量的边缘密度、独立性与条件分布等概念。
多维随机向量的边缘密度。若X?X1,X2?Xp为p维随机向量，由它的q?q?p?个分量组成的子向量X?1???????Xi1,Xi2?Xiq?的分布称为X的边缘（边际）分布；通过变
?1?换X中的各分量的次序，总可以假定X量为X?2?，即
正好是X的前q?q?p?个分量，其余p?q个分
?X?1??q?X???X?2??p?q ?? 这时X?1?的分布函数为Fx1,x2,?xq?PX1?x1,?Xq?xq，若X的联合分布密
?????1?度为fx1,x2,?xp，则X的边缘密度函数为：
??f(x1,x2,?xq)????f?x1,x2?xq,xq?1?xp?dtq?1?dtp
?????? 多维随机向量的独立性。若p个随机变量X1,X2,?,Xp的联合分布密度等于各自边缘分布的乘积，则称X1,X2,?,Xp是互相独立的。
多维随机向量的条件分布。称给定X?2?时X?1?的分布为条件分布。当X的密度函数为
fX?1?,X?2?,X?2?的密度函数为f2?x2?时，给定X?2?时X?1?的条件密度为
??f1x四、 多维随机向量的数字特征
??1?x?2??????fx?1?,x?2?? ?2?f2x 概率分布是对随机变量的概率性质最完整的刻画。优点是刻画的完整性，不便之处在于表示形式有时是非常复杂的。而随机变量的数字特征，则是指某些由随机变量的分布所决定的常数，它刻画了随机变量（或者其分布）的某一方面的性质。对于多维随机变量刻画其性质的最重要的数字特征有均值、自协差阵与协差阵及相关矩阵。
（一）多维随机向量的均值向量
设X?X1,X2?Xp为p维随机向量，若E?Xi???i存在，（i?1,2,?,p），则定义随机向量X的均值为：
????EX1???1??EX????2?2EX???????
??????????EX??p?????p???是一个p维向量称为均值向量。
（二）多维随机向量的自协差阵与协差阵
称随机向量X的自协差阵（简称随机向量X的协差阵）为
??COV?X,X??E?X?EX??X?EX?DX1COV?X1,X2???COV?X,X?DX221????????COV?Xp,X1?COV?Xp,X2?称随机向量X、Y的协差阵为
??D?X?
?COV?X1,Xp???COV?X2,Xp?????
ij?????DXp?????COV?X,Y??E?X?EX??Y?EY?
?COV?X1,Y1?COV?X1,Y2??COV?X,Y?COV?X,Y?2122???????COV?Xp,Y1?COV?Xp,Y2?? （三）随机向量均值与协差阵的性质
?COV?X1,Yq???COV?X2,Yq???
?????COV?XP,Yq???