（3）当p?1时，
n11???1,n1,n2?~F?n2,n1? n2??1,n1,n2?n1?11???2,n1,n2?~F?2n2,2?n1?1??
n2??2,n1,n2?（4）当p?2时，
以上关系式说明，对于一些特殊的?统计量可以转化为T2统计量，进而可以化为F统计量。并且当n2?2,p?2时，?统计量可以利用?统计量或F统计量来近似表示。有了上述的关系，实际应用中，为了方便，遇到?统计量时，就可以通过变换，用?检验或
22F检验来进行统计检验了。
二、一个正态总体均值向量的假设检验
设总体X服从Np(?,?),??0，现从中获得样本X1,X2,?Xn,n?p，样本均值向量为X，要检验假设
H0:???0H1:???0(?0为已知向量）
（一）当总体协方差阵?为已知，且为正定时，可用检验统计量：
?2T0?n?X??0???1?X??0?
当假设成立时，统计量T0~?2222T0??????，?p?，给定检验水平，查?分布表使P?可得临界值??，再由样本值计算T0，若T0>??，则否定假设，否则假设相容。
（二）当总体协方差阵?未知时，用?的无偏估计量S代替，则检验统计量为
22?2T0??n?1??n?X??0?S?1?X??0??
????当假设成立时，统计量T0服从T分布，再利用T分布与F分布的关系，有
222?n?1??p?1T2~F?p,n?p? ?n?1?p所以，给定检验水平，查F分布表使P??n?p2?T?F????，可得临界值F?，再
??n?1?p?由样本值计算T0，若
2n?p2T0>F?，则否定假设，否则假设H0相容。
?n?1?p三、两个正态总体均值向量的检验
设有总体X???~Np??1,?1?（??1,2,?,n），从中获得样本X1,X2,?Xn，样本均值向量为X，另有一总体Y???~Np??2,?2?（??1,2,?,m），从中获得样本
Y1,Y2,?Ym，样本均值向量为Y，且两组样本相互独立，协差阵?1?0，且n?p，?2?0，
m?p。现在要检验假设
H0:?1??2H1:?1??2
（一）当协差阵相等时，即?1??2，且未知时，可用检验统计量：
????nm?nm?S?1?? ????T2??n?m?2??X?YX?Y?n?m??n?m?????其中：
S?S1?S2 S1??X????X??X????X? ???1n? S2??????Y?YY?Y ?????????1m
当假设成立时，统计量T服从T分布，再利用T分布与F分布的关系，有
222F??n?m?2??p?1T2~F?p,n?m?p?1?
?n?m?2?p所以，给定检验水平，查F分布表使?F?F????，可得出F?，再由样本值计算F，若F?F?，则否定H0，否则H0相容。
（二）协方差阵不相等即?1??2，且未知时，具体分两种情况： 第一种情况：n?m时，令
Z?i??X?i??Y?i?i?1,2?n
Z?X?Y
?S???Z?j??Z??Z?j??Z?
j?1n于是利用T2分布与F分布的关系，可得检验统计量为：
F??n?p?nZ?S?1Zp~F?p,n?p?
第二种情况：n?m不妨设n?m时，令
Z?i??X?i?n1n1m?Y?i??Y?j???Y?j??mmj?1nmj?1i?1,2,?n
Z?X?Y
?S???Z?i??Z??Z?i??Z?
i?1n于是利用T2分布与F分布的关系，可得检验统计量为：
F??n?p?nZ?S?1Zp~F?p,n?p?
四、多个正态总体均值向量的检验——多元方差分析
设有k个p元正态总体Np(?1,?)，Np(?2,?)?Np(?k,?)，??0，从每个总体中抽取独立样品个数分别为n1,n2,?nk，n1?n2???nk?n，具体样本观测数据如下：
?1??x11??1??x21第一个总体：????1??xn?1?2??x11??2??x21第二个总体：????2??xn?2?1?x12?x1?1p???X1?1?????1???1??1?x22?x2p??X2?????
????????1??1????1??xn?xn11??Xn1??2????X1?2??x12?x1?2p???2???2?2x22?x2p??X2?????
????????2??2????2??xn?xn22??Xn2??
?k??x11??k??x21第个k总体：????k??xn?k?k????X1?k??x12?x1?kp???k???k??k?x22?x2p??X2?????
????????k??k????k??xn?xnkk??Xnk? 样本的均值向量为Xi,(i?1?k)，要检验的假设为
H0:?1??2???kH1:?1,?2,?,?k不全相等。
记总的离差阵为T，组内的离差阵为E，组间的离差阵为B，那么T?E?B，各离差阵的计算公式为：
T???(Xi????X)?(Xi????X)
??1i?1kkn?E???(Xi????X???)?(Xi????X???)
??1i?1kn?B??n?(X????X)?(X????X)
??1则检验用的统计量是通过广义似然比导出的统计量（这里的广义似然比统计量等价威尔克斯（Wilks）统计量）为：
??ET?EE?B~?(p,n?k,k?1)
给定检验水平?，查威尔克斯（Wilks）分布表，确定临界值，然后作出统计判断。若没有查威尔克斯（Wilks）分布表的情况下，可近似用如下?分布或F分布来进行检验。
设?~?(p,n,m)，令
2n?m?(p?m?1)V??ln??ln?t，
21R?1???1L1L?tL?2? pm其中这里，t?n?m?(p?m?1) 22212?pm?4?L???p2?m2?5??
??pm?2 ??4则V近似服从?(pm)分布，R近似服从F(pm,tL?2?)分布，这里tL?2?不一定是整数，可用与它接近的整数来作为F分布的自由度，且
2五、正态总体的协方差阵检验 （一）一个正态总体的协方差阵检验 设X???~Np??,????1,2,?,n，协差阵??0，且未知。从中获得样本
X1,X2,?Xn，n?p，样本的协方差阵为S，Ip为一个单位阵，?0是一个已知的正定
矩阵，要检验假设：
（1）H0:??IpH1:??Ip，检验所使用的似然比统计量为，
??exp??trS?S??
其中，S? （2）H0:???0?Ip?1?2n??n2?e??n?np2?X????X??X????X? ???1?H1:???0?Ip
因为?0?0，所以存在DD?0使得D?0D??Ip，
令Y????DX??? ??1,2?n,则
??Y???~Np?D?,D?D*?=Np??*,?*?
因此检验???0等价于检验??Ip，检验所使用的似然比统计量为：
*??exp??trS*?S其中 S?*n?1?2??n*2?e??? ?n??np2?????Y?YY?Y ????????1在实际应用中，由于?分布的计算比较困难，实际应用中，往往采用?分布的近似分布?分布来近似，其中在假设成立时?2ln?的极限分布是?p(p?1)。
222（二）多个协差阵相等的检验 设k个正态总体分别为Np?,?1??1??1??，N????,????,?N????,????,????0，
22kkkp2pki且未知，i?1,2,?k。今分别从各总体中取ni（i?1,2,?k）个样本X1,X2,?Xni，
?i??i??i?ni?p，样本的离差阵为Si，i?1,2,?k，要检验的假设为
H0:??1????2??????k?令S?H1:??1?,??2?,?,??k?不全相等，
?Si?1nki，其中
Si??X????Xi?1??i??i???X????i??X?i??，Xnp2??i?1?ni?X???
i?1ni?i?检验所用的似然比统计量为，
n?k?Si?1nk2?S?ni?1kini2pni2
i?，则?2ln?k?在实际应用中，将ni改为ni?1，n改为n?k，得修正的统计量，记为?k的近似分布为?2f1?d分布，其中，
f?1p(p?1)(k?1) 22p2?3p?1k11d?(??) 至少有一对ni?nj时
6(p?1)(k?1)i?1ni?1n?k(2p2?3p?1)(k?1)d? n1?n2???nk时。
6(p?1)k(n?1)