第十章习题解答
10-1 如题图10-1所示，三块平行的金属板A，B和C，面积均为200cm2,A与B相距4mm，A与C相距2mm，B和C两板均接地，若A板所带电量Q=3.0×10-7C，忽略边缘效应,求：（1）B和C上的感应电荷？（2）A板的电势（设地面电势为零）。
题图10-1
题10-1解图
d 分析：当导体处于静电平衡时，根据静电平衡条件和电荷守恒定律，可以求得导体的电荷分布，又因为B、C两板都接地，所以有UAC?UAB。 解：（1）设B、C板上的电荷分别为qB、qC。因3块导体板靠的较近，可将6个导体面视为
6个无限大带电平面。导体表面电荷分布均匀，且其间的场强方向垂直于导体表面。作如图中虚线所示的圆柱形高斯面。因导体达到静电平衡后，内部场强为零，故由高斯定理得：
qA1??qC qA2??qB 即 qA??(qB?qC) ① 又因为： UAC?UAB 而: UAC?EAC?d2
UAB?EAB?d
∴ EAC?2EAB ?C??0?2?于是：
两边乘以面积S可得：
?0S?C??0?B?2?S?B?0
即： qC?2qB ②
?7?7联立①②求得: qC??2?10C,qB??1?10C
1
(2) UA?UAC?UC?UAC?EAC?d2??C?dq?d??C? ?02S?023?2?10?4?7?12200?10?8.85?10?2?10?3?2.26?10(V)
10-2 如题图10-2所示，平行板电容器充电后，A和B极板上的面电荷密度分别为+б和－б，设P为两极板间任意一点，略去边缘效应，求： （1）A,B板上的电荷分别在P点产生的场强EA,EB; （2）A,B板上的电荷在P点产生的合场强E； (3)拿走B板后P点处的场强E′。
分析：运用无限大均匀带电平板在空间产生的场强表达式及场强叠加原理求解。 解：（1） A、B两板可视为无限大平板. 所以A、B板上的电何在P点产生的场强分别为:
EA??2?0,方向为：垂直于A板由A指向B板
EB??2?0，方向与EA相同.
题图10-2
(2)E?2EA???0，方向于EA相同
(3) 拿走B板后：E'??2?0，方向垂直A板指向无限远处.
10-3 电量为q的点电荷处导体球壳的中心，球壳的内、外半径分别为R1和R2，求场强和电势的分布。
分析：由场强分布的对称性，利用高斯定理求出各区域场强分布。再应用电势与场强的积分关系求电势，注意积分要分段进行。
解：由静电感应在球壳的内表面上感应出?q的电量，外表面上感应出q的电量.
所以由高斯定理求得各区域的场强分布为：
E1?q4π?0r2 (r?R1)
E2?0 (R1?r?R2)
q4π?0r2E3? (R2?r)
题10-3解图
2
q??2即： E??4π?0r?0?U3?(r?R1,r?R2)(R1?r?R2)
???r??E3?dr????rq4π?0r??R22?dr?q4π?0rq，(r?R2)
U2??R2r??E2?dr????R2??E3?dr????E3?dr?4π?0R2,(R1?r?R2)
??R2U1??R1r??E1?dr??R2R1??E2?dr????R2??E3?dr??R1r??E1?dr????E3?dr
??111????? , (r?R1)
4π?0?rR1R2?q综上可知:
?q??4π?0??U????????111?????rRR?12?q4π?0R2q4π?0r(r?R1)(R1?r?R2)(r?R2)
10-4 半径为R1的导体球，带有电量q；球外有内、外半径分别为R2，R3的同心导体球壳，
球壳带有电量Q。（1）求导体球和球壳的电势U1，U2；（2）若球壳接地，求U1，U2；（3）若导体球接地（设球壳离地面很远），求U1，U2。
分析：由场强分布的对称性，利用高斯定理求出各区域场强分布；再由电势定义求电势。接地导体电势为零，电荷重新分布达到新的静电平衡，电势分布发生变化。
解:如图题10-4解图（a）所示,当导体达到静电平衡时,q分布在导体球的表面上.由于静电感应在外球壳的内表面上感应出?q电量.外表面上感应出?q电量，则球壳外表面上共带电荷(Q?q).
(1) 由于场的对称性.由高斯定理求得各区域的场强分布为：
E1?0 (r?R1)
E2?q4π?0r2 (R1?r?R2)
E3?0 (R2?r?R3)
题10-4解图（a）
3
E4?Q?q4π?0r2 (R3?r)
E的方向均沿经向向外.
取无限远处电势为零，则由电势的定义可得： 内球体内任一场点p1(r?R1)的电势U1为
U1??R1r?R2?R3?+??????E1?dr+?E2?dr+?E3?dr+?E4?dr R1R2R3 =?R2R1q4π?0r2dr+?+?R3Q+q4π?0r2dr=?qqq+Q??+??
4π?0?R1R2R3?1外球壳体内任一场点p2(R2?r?R3)的电势为:
U2??R3r?+????E3?dr+?E4?dr?R3?+?R3q?Q4π?0r2dr?q?Q4π?0R3 （2）若外球壳接地.球壳外表面的电荷为零，等量异号电荷分布在球体表面和球壳内表面上,此时电场只分布在(R1?r?R2)的空间，如图题10-4解图（b）所示.由于外球壳U2?0则内球体内任一点P1(r?R1)的电势U1为:
U1?R2R1?R1r?R2???E1?dr+?E2?dr=R1?R2R1??E2?dr ??q4π?0rdr?2?11???? 4π?0?R1R2?qU2?0
题10-4解图（b）
(3) 当内球接地时，内球的电势U1?0，但无限远处的电势也为零，这就要求外球壳所带电量在内外表面上重新分配，使球壳外的电场沿着经向指向无限远处，球壳内的电场经向指向球心处；因此，内球必然带负电荷。因为内球接地，随着它上面正电荷的减少，球壳内表面上的负电荷也相应减少；当内球上正电荷全部消失时，球壳内表面上的负电荷全部消失完；但就球壳而言，仍带有电量+Q。由于静电感应，在内球和大地这一导体，系统中便会感应出等量的负电荷-Q,此负电荷（-Q）的一部分（设为-q′）均匀分布在内球表面上。球壳内表面上将出现等量的正电荷(+q′)与之平衡.因此，在达到静电平衡后，内球带电荷-q′，球壳内表面带电量+q′，外表面上带电量（Q-q′），如图所示. 由高斯定理可知各区域的场强分布为:
E1?0 (r?R1)
4
E2??q?4π?0r2 (R1?r?R2)
E3?0 (R2?r?R3)
Q?q?4π?0r2E4? (R3?r)
球壳上任一场点P2(R2?r?R3)相对于无限远处和相对于接地内球的电势，应用电势定义分别计算，可得:
U2?题10-4解图（c）
?R3r??E3?dr????R3??E4?dr=???R3Q?q?4π?0rR1dr?2'2Q?q?4π?0R3?q4??' U2??R2r??E3?dr??R1R2??E2?dr??R1R2??E2?dr??R2[?q4??0r]dr?[01R1?1R2] 联立上述两式，求得：
q??R1R2QR1R2?R2R3?R1R3
将q?代入U2的表达式中可得:
QR2?R1U2=4π?0R1R2?R2R3?R1R3? ， (R2?r?R3)
U1=0 ， (r?R1)
10-5 三个半径分别为R1，R2，R3（R1< R2< R3）的导体同心薄球壳，所带电量依次为q1，q2，q3.求：（1）各球壳的电势；（2）外球壳接地时，各球壳的电势。
分析：根据静电平衡条件先确定球的电荷分布情况，再根据电荷分布的球对称性，利用高斯定理求出电场强度分布，进而利用电势与电场强度的积分关系求出电势分布。对于电荷球对称分布的带电体，也可直接利用电势叠加原理求得电势分布。接地导体时电势为零，电荷重新分布达到新的静电平衡，新的电荷分布引起电场和电势分布发生变化。
解：(1) 如图题10-5解图(a)所示，半径为R1的导体球壳外表面上均匀的分布电量q1，由于静电感应，半径为R2的球壳内表面上感应出-q1的电量.外表面上感应出+q1的电量.因此，半径为R2的球壳外表面上的电量为q1+q2，同理，半径为R3的球壳内表面上感应出-(q1+q2)的电量.外表面上感应出+(q1+q2)的电量.所以R3的球壳外表面上的电量为(q1+q2+q3)。 (方法一) 由于场的分布具有对称性,可用高斯定理求得各区域的场强分别为
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