E1?0 ， (r?R1)
E2?q14π?0r2， (R1?r?R2)
E3?q1?q24π?0r2 ， (R2?r?R3)
E4?q1?q2?q34π?0r2 ， (R3?r)
题10-5解图(a)
E的方向均沿径向向外.
取无限远处为电势零点.
U1?R2R1???E2?dr?R2R1?R3R2??E3?dr?R3R2???R3??E4?dr ??R3??q14π?0rdr?2?q1?q24π?0r2dr??q1?q2?q34π?0r2dr ??q1q2q3?????
4π?0?R1R2R3?1??E3?dr?U2??R3R2???R3??E4?dr??R3R2q1?q24π?0rdr?2???R3?q1?q2?q34π?0r2dr ?q1?q2?11?q1?q2?q3?1?1?q1?q2q3???????????
4π?0?R2R3?4π?0R3??R3?4π?0?R2U3????R3??E4?dr=???R3q1?q2?q34π?0r2dr??q1?q2?q3??? 4π?0?R3?1（方法二）可把各球壳上的电势视为由电量为q1,半径为R1；电量为q2，半径为R2；电量为q3，半径为R3的三个同心带电球壳分别在各点所共同产生的电势的叠加.
由于在半径为R1的球壳外表面上的P点由三个带电球壳电势的叠加.故有 ?q1q3?q2U1?????
4π?0?R1R2R3?1同理: U2?1?q1?q2q3????
4π?0?R2R3?1U3??q1?q2?q3??? 4π?0?R3?(2) 由于外球壳接地,球壳外表面的电荷为零，内表面的电量为-(q1+q2) (方法一) 用高斯定理求得各区域的场强分别为：
6
E1?0 ， (r?R1)
E2?q14π?0r2， (R1?r?R2)
E3?q1?q24π?0r2 ， (R2?r?R3)
E4?0 ， (R3?r)
∴U3?0
R3R2题10-5解图（b）
U2?????E3?dr???E2?dr+??R3R2q1?q24π?0r2dr?q1?q2?11????
4π?0?R2R3?q1dr?2U1?R2R1R3R2??E3?dr??R2R14π?0r?R3R2q1?q24π?0r2dr ??11?q1?q2?11?1?q1q2q1?q2??????????? ??4π?0?R1R2?4π?0?R2R3?4π?0?R1R2R3?q1（方法二）可把U1,视为带电量为q1，半径为R1；带电量为q2，半径为R2，带电量为-(q1+q2)，半径为R3的同心带电球面在半径为R1的球壳外表面上的电势的叠加. ∴U1??q1q2q1?q2?????
4π?0?R1R2R3?1把U2视为带电量为q1+q2,半径为R2.带电量为-(q1+q2)，半径为R3的同心球面在半径为R2的球壳外表面上的电势的叠加 ∴U2??q1?q2q1?q2?q1?q2?11????????
4π?0?R2R3?4π?0?R2R3?1因为外球壳接地，所以：U3?0
10-6 一球形电容器，由两个同心的导体球壳所组成，内球壳半径为a，外球壳半径为b，求电容器的电容。
分析：设球壳内外表带电量?Q，由于电荷分布具有对称性，应用高斯定理确定场强的分布。由电势与场强的积分关系确定电容器两极板间电势差，再由电容定义式求电容。
解：设内球壳外表面带电量为+Q.则外球壳内表面带电量为-Q,两球面间的场强分布具有对称性，应用高斯定理，求得两球面间的场强大小为：
E?Q4π?0r2 ，(a?r?b)
据场强与电势差的关系：
7
Uab??ba??E?dr??baQ4??0r2dr??11??4??0?abQ?? ?于是有：
C?QUab?Q?11????4π?0?ab?Q?4π?0ab/(b?a) 10-7 一平行板电容器两极板的面积均为S，相距为d，其间还有一厚度为t,面积也为S的平行放置着的金属板，如题图10-7所示，略去边缘效应.(1) 求电容C.（2）金属板离两极板的远近对电容C有无影响？（3）在t=0和t=d时的C为多少？
分析： 由于金属板的两个表面在电容器中构成新电容器的两个板板，所以AC间的电容器可看作AB、BC两电容器的串联. 解：（1）CAB??0sdAB??0sd?t?x
CBC??0sdBC??0sx
题10-7解图
∴AC间的电容为:
?0sC?CABCBCCAB?CBC?d?t?x?0s???0sx?0s??0sd?t
d?t?xx(2) 由上述推导可知，金属板离两极板远近对C无影响
(3) 当t=0时:C??0sd
当t=d时:C=∞
10-8 平行板电容器的两极板间距d=2.00mm,电势差U=400V，其间充满相对电容率?r?5的均匀玻璃片,略去边缘效应,求：（1）极板上的面电荷密度?0；(2)玻璃界面上的极化面电荷密度??。
分析：根据电容的定义式及平行板电容器公式求解自由电荷面密度?0。再利用极化面电荷密度和自由电荷面密度关系求解??。 解：（1） 据电容的定义式：
?0?rsQC?u??即:
?0sud?0?rsd
?12∴ ?0?u?0?rd?400?8.85?102?10?3?5?8.85?10(c/m)
?62 8
?1?1???6?62(2) ????1???1??0???8.85?10?7.08?10(c/m)
?r?5???10-9 如题图10-9所示，一平行板电容器中有两层厚度分别为d1，d2的电介质，其相对电容率分别为?r1，?r2，极板的面积为S，所带面电荷密度为+б0和-б0.求：（1）两层介质中的场强E1,E2;（2）该电容器的电容。
分析：此电容器可视为上下两电容器串联而成。
解: (1) 平行板电容器为介质是真空时
E0??0?0
当充满相对电容率为?r1,?r2的介质时，场强分别为： E1?E0?题10-9解图
?0?0?r1?0?0?r2?r1E0，方向为垂直极板向下。
E2??r2?，方向为垂直极板向下。
(2) 该电容可以看成是C1与C2的串联。
C1??0?r1sd1
C2??0?r2sd2
?0?r1s??0?r2s∴ C?C1?C2C1?C2?d1d2?0?r1sd1??0?r2sd2??0?r1s??0?r2s?0?r1sd2??0?r2sd1??r1?r2?0s?r1d2??r2d1
10-10 一无限长的圆柱形导体，半径为R，沿轴线单位长度上所带电荷为?，将此圆柱放在无限大的均匀电介质中，电介质的相对电容率为?r，求：（1）电场强度E的分布规律；（2）电势U的分布规律（设圆柱形导体的电势为U0）
分析：介质中高斯定理的应用。先利用介质中高斯定理求D、E的空间分布，然后再由电势与场强的关系确定空间电势分布。
解：由于电荷分布呈对称性，故D、E分布亦呈对称性，方向沿径向.以r为半径作一同轴圆柱形柱面，圆柱长为l。如图中虚线所示，则通过此面的D通量为:
??D?ds?2πrlD
?由高斯定理可知:
9
???D?ds?2πrlD???0qi????lr?Rr?R
?0?解之得: D?????2πr?r?r?R??R?
由D??0?rE可知:
?0?E????2πr??0r??r?R??r?R?
题10-10解图
（2）据电势与场强的关系可知：取圆柱面附近某点B处电势为零.
?B?U??E?dl,
r则：U0=当r≤R时, U?当r≥R时, U??BR??E?dl
??RrBr??E?dl???E?dl?B?BRRr??E?dl=0?U0?U0 ??E?dl???BR??E?dl
rR??R???r?E?dl-?E?dl=U0?R??2πr?0?rdr=U0??2π?0?rlnrR=U0??2π?0?rlnRr.
综上可知电势分布为：
U0??U???RU0?ln?2π?0?rr?(r?R)(r?R)
10-11 设有两个同心的薄导体球壳A与B，其半径分别为R1=10cm, R2=20cm，所带电量分
?8?7别为q1??4.0?10C,q2?1.0?10C.球壳间有两层电介质球壳，内层的相对电容率
?r?4，外层的?r?2，它们分界面的半径R??15cm，球壳B外的电介质为空气，求：
12（1）A球的电势UA，B球的电势UB；（2）两球壳的电势差；（3）离球心30cm处的场强；（4）由球壳A与B组成的电容器的电容
分析：介质中高斯定理的应用。先由介质中高斯定理求D、E的空间分布，然后由电势与场强的关系求电势、电势差，再根据电容定义式求电容。 解：（1） 由于电荷分布呈球对称性.
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