∴D、E分布亦呈球对称性.方向沿径向.由高斯定理可得:
???D?ds?2?qii
R?D?4πr??iqi
A B ?r1 R1 R2 ??0??q1D??24πr??q1?q22??4πr,,,r?R1R1?r?R2 R2?r?r2 题10-11解图
又由于D??0?rE
0,??q1?,24πr???0r1?∴E??q1,?4πr2??0r2??q1?q2?4πr2?0?r?R1R1?r?R?R??r?R2r?R2
由场强与电势的关系可知:
U???R2???r??E?dl????r??E?dr
UB????E?dr????R2q1?q24πr?0?8?22dr?q1?q24π?0R2?7
=9?10?(?4.0?109?1.0?10)20?10???2.7?10(V)
??3UA??R1??E?dr?q1?R?R1??E?dr?R2R??R2R???E?dr?q1?R2??E?dr
??R2??R?R14π?0?r1rdr?2?4π?0?r2r2dr+?q1?q24π?0r2dr
?q14π?0?r1?8?1?1q11?1?3?+??????2.7?10 ?R1R??4π?0?r2?R?R2?9?89??4?10?9?10?11??4?10?9?10?11??????42?0.10.15??0.150.2?3??2.7?10 ??2.1?10(V)33(2) UAB?UA?UB?2.1?10?2.7?10??600(V)
3 11
(3) r?30cm?R2 ∴ E?q1?q14π?0r2?(?4?10?8?1?10(0.3)2?7)?9?109?6?10(V/m)
3(4)由静电感应，达到静电平衡时，半径为R2的导体球壳内表面上分布有-q1的电量. ∴ CAB?|q1|uAB?4?10?826?10?67(pF)
10-12 如题图10-12所示，平行板电容器极板面积为S，相距为d，电势差为U，极板间放着一厚度为t，相对电容率为?r的电介质板，略去边缘效应，求：（1）介质中的电位移D，场强E；（2）极板上的电量q；（3）极板与介质间的场强E；（4）电容C。
分析：介质中高斯定理的应用。由电势与场强的关系和D、E之间的关系，可得出空气、介质中的场强，由高斯定理可求出介质中的电位移D，进而求出电量及电容。 解：（1）设介质中的场强为E、介质外的场强为E0，则有：
U?Et?E0(d?t)?Et??rE(d?t)
E?U?rd?(1??r)t;D??0?rE??o?rU?rd?(1??r)t;
(2) 作一柱形高斯面S，如图中虚所示，有
???D?ds?q0
即： D?S????S ∴ D??0 ∴ q??0S?DS?题10-12解图
?0?rSU?rd?(1??r)t
(3) 极板与介质间的场强：E0??rE??rU?rd?(1??r)t
?0?rSU(4) C?qU??rd?(1??r)tU??0?rS?rd?(1??r)t
10-13 一平行板电容器，极板间距d=5.00mm，极板面积S=100cm2, 用电动势E=300V的电源给电容器充电.
（1）若两板间为真空，求此电容器的电容C0，极板上的面电荷密度?0，两极板间的场强E0； （2）该电容器充电后，与电源断开，再在两板间插入厚度d=5.00mm的玻璃片（相对电容率?r?5.0）,求其电容C，两板间的场强E以及电势差ΔU；
12
（3）该电容器充电后，仍与电源相接，在两极板间插入与（2）相同的玻璃片，求其电容C?，两板间的场强E?以及两板上的电荷量q。
分析：电容器充电后，断开电源，电容器存储的电量不变。而充电后，电容器仍与电源相接，则电容器两极板间电压不变。插入介质后电容器的电容增大。 解：（1） 两极板间为真空，则有：
C0??0Sdq0U?8.85?10?12?100?10?3?45?10?17.7(pF)
又∵ C0???0SU
?12∴ ?0?E0?C0USUd??17.7?10?300?4100?10300-3?5.31?10(c/m)
?725?10?6?10(V/m)
4（2）插入介质后
C??rC0?5.0?17.7?88.5(pF)
16?10544E??rE0??1.2?10(V/m)
?U?Ed?1.2?10?5?104?3?60(V)
（3）充电后，仍与电源相接，则?U?300V不变.
?0?rSC???Udd?q?UE??3005?10?3?C?88.5(pF)
?6?10(V/m)
4∵ C??
?12∴ q?C??U?88.5?10?300?2.66?10(C)
?810-14 一圆柱形电容器由半径为R1的导线和与它同轴的导体圆筒构成，圆筒长为l，内半径为R2，导线与圆筒间充满相对电容率为?r的电介质，设沿轴线单位长度上导线的电量为?，圆筒的电量为－?，略去边缘效应，求：（1）电介质中电位移D，场强E；（2）两极板的电势差。
分析：介质中的高斯定理的应用。根据介质中的高斯定理求出D、E，再由电势差与场强的
关系求电势差。 解：（1）电荷分布具有对称性,即D、E的分布变量呈对称性方向沿径向向外.作如图所示的圆柱形高斯面，由高斯定理可知：
?
??D?ds??qii??x (R1 13 即 D?2?rx??x ?∴ D? (R1 2πrE?D?0?r??2π?0?rr (R1 D、E的方向均沿径向向外. (2) UAB? 题10-14解图 ?R2R1??E?dr??R2R1?2??0?rrdr??2??0?rlnR2R1 10-15 如题图10-15所示，每个电容器的电容C均为3μF，现将a,b两端加上U=450V的电压，求：（1）各个电容器上的电量；（2）整个电容器组所贮存的电能；（3）如果在电容器 C3中，充入相对电容率?r?2的电介质，各个电容器上的电量。 题图10-15 题10-15解图 分析：画出等效电路，利用电容器的串、并联特点求解。 解：（1）画出该电路的等效图如图示 C12=C1+C2=6(μF) C总?C12?C3C12?C3?3?66?3－6?2(μF) Q总＝C总Uab?2?10－4?450＝9?10（C) 4而 Q3?Q12?Q总?9?10－（C) 而 Q1?Q2?Q12 且 Q1＝Q2 －4∴ Q1?Q2?4.5?10（C) －4－4即各电容器的电量为：Q1?Q2?4.5?10（C)；Q3?9?10（C) 14 (2) W=12C总U2?12?2?10?6?(450)?0.203(J)2 (3)在C3中充入?r?2的电介质后，其电容为C3?，则有： ???rC3?2?3?6(μF) C3∴ C??总??C3C3??C12C3?6?66?6?3(μF) 3∴ Q总?＝C总?Uab?3?10－6?450＝1.35?10－（C) 3∴ Q3?Q总?1.35?10－（C) Q1?Q2?12－4Q3?6.75?10（C) 15