又∵平面ABC的一个法向量为n??(0,0,1)．
cos??cos?n,n??????12分
3?0?0?0?2?1(3)2?02?22?02?02?12?27．??????7说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，
以及空间想象能力和逻辑推理能力．
18．（本小题满分14分）
已知f(x)是二次函数，f?(x)是它的导函数，且对任意的x?R，
f?(x)?f(x?1)?x2
恒成立．
（1）求f(x)的解析表达式；
（2）设t?0，曲线C：y?f(x)在点P(t,f(t))处的切线为l，l与坐标轴围成的三角形面积为S(t)．求S(t)的最小值．
2解：（Ⅰ）设f(x)?ax?bx?c（其中a?0），则
f'(x)?2ax?b， ??????2分
f(x?1)?a(x?1)2?b(x?1)?c?ax2?(2a?b)x?a?b?c．
由已知，得2ax?b?(a?1)x?(2a?b)x?a?b?c， ∴
2?a?1?0??2a?b?2a?a?b?c?b?，解之，得
a??1，b?0，
c?1，∴
f(x)??x2?1． ??????5分
（2）由（1）得，P(t,1?t)，切线l的斜率k?f'(t)??2t， ∴切线l的方程为y?(1?t)??2t(x?t)，即
22y??2tx?t2?1． ??????7分
t2?1,0)，l与y轴的交点为B(0,t2?1)， 从而l与x轴的交点为A(2t(t2?1)2∴S(t)?（其中t?0）． ???9
4twww.130edu.com 教学资源网
分
(t2?1)(3t?1)(3t?1)∴S'(t)?． ?????11分 24t当0?t?3时，S'(t)?0，S(t)是减函数； 3当t?3时，S'(t)?0，S(t)是增函数． ??13分 3?3?43??3??9． ????14分 ??∴[S(t)]min?S?说明：本题主要考查二次函数的概念、导数的应用等知识，以及运算求解能力．
19．（本小题满分14分）
某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且
这两种情况发生的概率分别为
72和； 99项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失
31130%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和．
5315（1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； （2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？
（参考数据：lg2?0.3010，lg3?0.4771）
解：（1）若按“项目一”投资，设获利?1万元，则?1的分布列为
?1 P 300 7 9?150 2 9（
万
72?E?1?300??(?150)??20099www.130edu.com 教学资源网
元）. ?????????2分
若按“项目二”投资，设获利?2万元，则?2的分布列为：
?2 P 500 3 5?300 1 30 1 15311?E?2?500??(?300)??0??200（万元）. ???4分
53152又D?1?(300?200)?72?(?150?200)2??35000， ????599分
311D?2?(500?200)2??(?300?200)2??(0?200)2??140000，????6
5315分
所以E?1?E?2，D?1?D?2，
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资． ??8分 （2）假设
n年后总资产可以翻一番，依题意：1000(1?200n)?2000，即1000n1.2?2，???10分
两边取对数得：n?lg20.3010??3.8053．
2lg2?lg3?12?0.3010?0.4771?1+K]所以大约4年后，即在2013年底总资产可以翻一番． ?????13分 答：建议该投资公司选择项目一投资；大约在2013年底，总资产可以翻一番．?14分 说明：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差、对数的运算等知识，以及运用这些知识
解决实际问题的能力． 20．（本小题满分14分）
已知A、B分别是直线y?33x和y??x上的两个动点，线段AB的长为23，33P是AB的中点．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
??????????????????点，与y轴交于R点．若RM??MQ，RN??NQ，证明：???为定值．
（2）过点Q(1,0)任意作直线l（与x轴不垂直），设l与（1）中轨迹C交于M、N两
www.130edu.com 教学资源网
解：（1）设P(x,y)，A(x1,y1)，B(x2,y2)．
x1?x2?
x?,??2
∵P是线段AB的中点，∴? ???2分
?y?y1?y2.??2
∵A、B分别是直线y?3333x和y??x2． x上的点，∴y1?x1和y2??3333?x1?x2?23y,?∴?23 ????4分
x.?y1?y2?3?????22又AB?23，∴(x1?x2)?(y1?y2)?12． ????5分 x242?y2?1． ????6分 ∴12y?x?12，∴动点P的轨迹C的方程为
392（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y?k(x?1)．????7分 设M(x3,y3)、N(x4,y4)、R(0,y5)，
?y?k(x?1),?则M、N两点坐标满足方程组?x2 2?y?1.??9消去y并整理，得(1?9k)x?18kx?9k?9?0， ????9分
22229k2?918k2∴x3?x4?， ① x3x4?． ② ???10分
1?9k21?9k2∵RM??MQ，∴(x3,y3)?(0,y5)???(1,0)?(x3,y3)?． 即??x3??(1?x3),∴x3??(1?x3)．∵l与x轴不垂直，∴x3?1，
y?y???y.53?3x3x4，同理??． ???12分 1?x31?x4(x?x)?2x3x4x3x． ?4?341?x31?x41?(x3?x4)?x3x49． ????14分 4∴??∴????将①②代入上式可得?????说明：本题主要考查直线与椭圆的的有关知识、求轨迹方程的方法，以及运算求解和推理论证能力．
www.130edu.com 教学资源网
21．（本小题满分14分）
在单调递增数列{an}中，a1?1，a2?2，且a2n?1,a2n,a2n?1成等差数列，
a2n,a2n?1,a2n?2成等比数列，n?1,2,3,?．
aaaa（1）分别计算3,5和4,6的值；
a1a3a2a4（2）求数列{an}的通项公式（将an用n表示）； （3）设数列{4n1，n?N*． }的前n项和为Sn，证明：Sn?n?2an2a3329解：（1）由已知，得a3?2a2?a1?2?2?1?3，a4???，
a222a5?2a4?a3?2?9?3?62，
2a562a6???8． ??????????2分
9a42（2）（法1）∵a2n?1,a2n,a2n?1成等差数列，∴a2n?1?2a2n?a2n?1，n?1,2,3,?； ∵a2n,a2n?1,a2n?2成等比数列，∴a2n?22a2?n?1，n?1,2,3,?． a2n又
a33a54a75a9a16a25?，?，?，……；4?，6?，8?，…… a11a32a53a24a49a616猜
想
∴
a2n?1n?2?a2n?1n，
a2n?2?n?2????a2nn?1??2，
n?N*， ??????????4分
以下用数学归纳法证明之．
aa31?2a2?1?2a49?1?2?①当n?1时，2?1?1?3??，?????，猜想成立；
a2?1?1a111a2?1a24?1?1?ak?2a2k?2?k?2?②假设n?k(k?1)时，猜想成立，即2k?1?，???，
a2k?1ka2kk?1??a2k?32a2k?2?a2k?1?a2k?1a2k?12a22?k?1?a2k?1a2k2a??2k?1?1
a2k?1a2k22那么
www.130edu.com 教学资源网