自 觉 遵 名 守姓 考 场 纪 律 如 考 试 作 弊 号 此学 答 卷无 效
附件一
东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）
课程名称 实变函数 考试学期
11-12-2
得分
适用专业
数学系
考试形式
闭卷
考试时间长度 120分钟
（开卷、半开卷请在此写明考试可带哪些资料） 题目 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 批阅人 线一. (10分)
试叙述可数集的定义， 并分别给出一个可数集合和一个不可数集的例子。 封 密
二. (10 分)
叙述勒贝格外测度的定义， 并证明可数集的外测度为零.
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三. (10分)
设E是可测集，证明存在E的一列单调增加的闭子集列Fn?Fn?1?E,?n?1, 使得
mE=limn??mFn.
四. (10 分)
(1)试给出有界闭区间上有界函数Riemann可积的充分必要条件。可积但Riemann不可积的例子。
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(2)给出一个Lebesgue 五. (10分)
(1) 叙述依测度收敛的定义。(2) 若在E上，fn(x)?f(x), gn(x)?g(x), 证明f(x) 和g(x)在E上几乎处处相等。
六.(10分)
叙述有界变差函数和绝对连续函数的定义，并分别给出一个例子。
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七.(10分)
设fn(x)在 E上Lebesgue可积。如果lim几乎处处收敛于零。
八. (10分)
(1)试叙述Fatou引理; (2)求下列极限：
n???|fEn(x)|dx?0, 证明存在子列{fnk}在E上
n??0lim???arctan(nx)1?x2dx
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九．设f(x)在[a,b]上Lebesgue可积。
(1) 若?(x)是[a,b]上的有界可测函数，证明f(x)?(x)在[a,b]上是Lebesgue可积的。 (2) 如果对[a,b]上的任意有界可测函数?(x)，总有在[a,b] 上几乎处处为零。 (3) 如果对任意连续函数?(x)总有 立。
?baf(x)?(x)dx?0成立. 证明f(x)?baf(x)?(x)dx?0成立，证明上述(2)中结论仍然成
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十.(10分）设f(x)在 (??,??)上Lebesgue可积。令g(x)?(1) 证明: g(x)是有界连续函数，并且
x???????e?|x?y|f(y)dy。
limg(x)?0
(2) 利用Fubini定理证明 g(x)在 (??,??) 上Lebesgue可积.
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