分析 关于这道条件等式的证明题，曾经众口一词认为，直接的代数证明是麻烦的，并且已经作为“三角法”的典范经常出没于各类书刊，为了支持这种观点，人们常作一下的两种解法的对比.
证明一（代数法）由已知式平方得
2 a2?a2b2?2ab1?b1?a?2b?222 ab ?1 （3-3）
移项得 2ab1?b21?a2?1?a2?b2?2a2b2，再平方得
4ab22?1?a2?b?ab222??1?a4244422224224?b?4ab?2a?2b?6ab?4ab?4ab
即
0?a?b?1?2ab?2a?2b?(a?b?1)
42222222则a2?b2?1.
证明二（三角法）由1?b2,1?a2有意义,可得
a?1，b?1，1?b?1，1?a?1 （3-4）
22故式（3-1）左边两相的绝对值都不大于1，但右边为1，所以a、b都为不大于1的非负数，恰好与锐角三角形有相同的特征，令??a?cos?1 ?1,?2??0,?
?2??b?sin?2????1?a2?sin?1?则 ? （3-5）
2??1?b?cos?2原式化为cos?1cos?2?sin?1sin?2?1 （3-6） 即cos(?1??2)?1，但 ??2??1??2??2，故?1??2?0 有
?1??2 (3-7)
得
a?b2222?cos?1?sin?2?cos?1?sin??122对这两种解法，有如下三点看法：
（1）由于代数法只从形式上“化整”盲目的两次开方，因而进行了复杂的平
方，配方运算.但这还是解这道题的必由之路，一旦弄清了题目结构的本质，作一次平方之后就配方，可以大大减少运算量.
证明三 对(3-1)式平方后，将(3-3)式化作移项配方，有
5
0?(1?a)(1?b)?2ab(1?a)(1?b)?ab22222222??(1?a)(1?b)?ab? ??2得(1?a2)(1?b2)?ab，平方得(1?a2)(1?b2)?a2b2，整理得a2?b2?1.
若对(3-1)式先移项再平方，过程还可以简化
证明四 对已知(3-1)移项得b1?a2?1?a1?b2，平方得
b(1?a)?1?2a1?b?a(1?b)
22222移项得 b2?a2b2?1?2a1?b2?a2?a2b2?0，配方得 (a?1?b2)2?0，得
a?221?b，平方得 a?b?1.
2显然，这个代数解法一点也不比三角解法麻烦.
（2）三角法能从1?a2，1?b2的形式，联想到三角函数的内容，体现了把形式与内容结合起来思考，可惜的是，这种思考浅尝辄止，白白浪费了许多重要而有用的信息，三角法只看到坐标平面上的两个点A(a,1?a2)，B(1?b2,b)在单位圆x2?y2?1上，因而有参数式即三角变换(3-4)，（3-5） 但没有进一步揭示已知等式所体现的内容，即A满足“单位圆上过点B的切线方程”：
2x1?b?by?1由切点的唯一性知A，B重合，于是得出比求证更强的结论
?a?????b?1?b1?a2 .
2综上所述，不仅揭示了题目的数学内容，同时也已完成了题目的证明. 证明五 已知条件表明，单位圆上的点A(a,1?a2),B(1?b2,b)满足A在过B的切线x1?b2?by?1上，由切点的唯一性，有
?a?????b?1?b1?a2 （3-8）
2平方得a2?b2?1.
（3）这里的“切点重合”是怎样想出来的呢？其实是从三角法所浪费了的信
?xcos?2?ysin?2?1息中又重新捕捉回来的，三角法中的式（3-6）即?，则
x?cos?1,y?sin?1?
6
A在
过B的切线上，而式（3-7）?1??2更是清楚而明白地说明A与B重合.抓住“切点重合”的思路分三步组织成证明五，并且沿着“两点重合”的知识链，继续导出一系列解法：
A，B重合???|AB|=0???距离公式中平方和为零???配方???基本不等式（原于配方）???柯西不等式?????
证明六 设A(a,1?a2),B(1?b2,b)则
AB?(a?1?b)?(1?a?b)?2222222?1?(a1?b?b1?a)??0 ??故
?a??A，B重合，可得（3-8）???b?1?b1?a2?a2?b2?1.
2证明七 如图作?ABC,使得BA=1，高CD分AB得
BD=a1?b2 ,DA=b1?a2.
且高CD=ab，则BC=BD2?CD2=a.同理 AC=b， 又由于S?ABC?12BA?CD?12ab，恰好等于
12BC?ACC
所以?ABC是直角三角形，有a2?b2?1.
B
D A 综上所述，一题多解教学的过程，应是引导学生开张积极思维活动的过程，引导他们动脑筋，领会和掌握基本知识，开阔学生的视野，使学生的发散思维能力得到锻炼和培养.
3.2 一题多变，培养思维的深刻性.
一题多变是题目结构的变式，指变题目的条件或结论，变换图形的位置结构，变换题目的形式，以及对题目进行引伸、推广等.
3.3 一题多得，培养思维的独创性.
探索型命题没有明确的条件或结论，条件要人去设定，结论要人去猜测，体系要人去构想.牛顿说过“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”中学生的想象力丰富，因此应通过例题或习题提供的结构特征，鼓励，引导学生大胆地猜想，
7
以培养学生的创造性思维.
4．数学解题教学中，设置“制错”教学培养学生的选择判断能力.
学数学离不开解题，解题又难又会出错，学生在解题中出现了各种各样的错误，因此教师设置“制错”解题教学.“制错”解题教学主要以以下四方面来设置，从而培养学生的思维能力.
4.1 设置错误“陷阱”提高学生的自我监控能力
苏霍姆林斯基说过：“任何异种教育现象，孩子在越少感到教育者的意图时，它的教育效果就越大，我们把这条规律看成是教育技巧的核心”针对学生由于对某些数学概念、法则、定理、公示等方面理解不够深刻和透彻，而表现在判断、推理论证及解题上的失误现象，可以有的放矢地选编一些具有迷惑性的题目，在易错的环节上设置“陷阱”，诱惑学生陷入歧途，制造思维冲突，诱发灵感，产生真知，从而提高自我监控能力.
例4 已知双曲线x2?12y2?1，过B（1,1）能否作直线l，使l与双曲线交于
P，Q两点，且B是线段PQ的中点.这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
这是在实习时教完用“点差法”处理弦中点问题给出的一道练习题.通过练习，果真有学生给出了如下的解法：
设P，Q的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)则有
x1?21212y2?1，x2?2212y2?1,
2x1?x22?1 ,
y1?y22?1.
故
(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)?0,2(x1?x2)?(y1?y2)?0.
所以PQ的斜率k?y1?y2x1?x2?2.又直线 l 过P，Q，B点，故 l 的方程为
y?1?2(x?1) ，y?2x?1.
初看起来，上述解题法简洁明了，但纵观解题过程，可以发现上述解法是错误的，原因是认为只要求得
y1?y2x1?x2，过B点直线就存在了，事实上，若将y?2x?1代入双曲线方程可知其无解，即此直线与双曲线无公共点，所以这样的直线 l 不
8
存在.
4.2 开辟错误“歧路”，培养学生思维的批判性
思维的批判性是思维活动中善于严格地估计思维材料和精细的检查思维过程的思维品质，在教学中，教师可选准时机，有意按照学生常见、多发的歧路适当出错，把错误重新暴露给学生，以进一步促进学生思考，使学生能分清错误类型，搞清问题之所在，从而做到对症下药，清楚病根.
在听一堂复习课时，教师出示了这样一个题目： 例5 求函数y?x?1x的值域.
一开始，教师有意迎合学生的习惯思维，板书错解： 由y?2x?1x?2，得函数的值域为?2,???.
“真理辨中明”教师不急于把正确解答告诉学术，这组织学生讨论参与辨析，探讨发现：由于不等式x?1x?2x?1x?2成立的条件是x?0，而此处函数的定
义域x?0，所以上述题法是错误的，辨析错音促进了正确思路的萌生，从而得
1出正确解法，在此基础上，教师继续给出题目：已知x?3，求函数y?x?的
x最小值.
教师顺着刚退出的过程，继续故意给出错解：由x?3得x?故ymin?2，并问：此解法可行吗？
学生很快就会得出上述结论是错误的，原因是在不等式x?等号不成立.
通过对错解过程的重新暴露，使学生对基本不等式的应用条件有了深刻的认识，并且“误”产生了防范能力得到进一步的提高，从而培养了学生思维的批判性.
1x?2x?1x?2中
1x?2x?1x?2
4.3 暴露错误过程，防止思维定时的负迁移，从而培养学生思维的严谨性.
学生解题中错误的种类较多，如果不把原来错误的思维或心理过程模拟出来，
9