考点：1、空间两直线所成的角；2、不等式. 5.已知函数
.
现有如下命题：
（1）对于任意不相等的实数
，都有
； ，都有，使得，使得
； ； .
，
（其中
）.对于不相等的实数
，设
，
（2）对于任意的a及任意不相等的实数（3）对于任意的a，存在不相等的实数（4）对于任意的a，存在不相等的实数
其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）. 【答案】①④ 【解析】 设
对（1），从
的图象可看出，
.
恒成立，故正确. ，故不正确. ，即
，则
.
不一定有解，，使得，.
对（2），直线CD的斜率可为负，即对（3），由m=n得令
由得：，作出的图象知，方程
所以不一定有极值点，即对于任意的a，不一定存在不相等的实数即不一定存在不相等的实数，使得.故不正确. 对（4），由m=－n得令
，则
，即
.
.
由得：，作出的图象知，方程解，所以一定有极值点，即对于任意的a，一定存在不相等的实数即一定存在不相等的实数，使得.故正确. 所以（1）（4）
考点：函数与不等式的综合应用. 三、解答题 1.设数列
的前项和
的通项公式； 的前n项和，求得
；（2）10.
，有
，
成立的n的最小值.
，且
成等差数列.
必一定有
，使得
，
（1）求数列（2）记数列【答案】（1）
【解析】（1）由已知即从而又因为所以所以，数列故
.
.
. .
成等差数列，即
，解得
.
.
是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）得
所以.
由因为所以于是，使
.
，得
，
，即.
成立的n的最小值为10.
考点：本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力.
2.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队
（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.
【答案】（1）A中学至少1名学生入选的概率为（2）X的分布列为：
.
X的期望为.
【解析】（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.
参赛学生全从B中抽取（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为因此，A中学至少1名学生入选的概率为（2）根据题意，X的可能取值为1，2，3.
，
.
.
，
，
所以X的分布列为：
因此，X的期望为.
考点：本题考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力. 3.如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.
（1）证明：（2）若
求
.
的值.
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】（1）.
（2）由由（1），有
，得.
连结BD， 在在所以 则
.
，
中，有中，有
， ，
，
于是
连结AC，同理可得
，
.
于是所以
.
考点：本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想. 4.如图，椭圆E：
的离心率是
，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，
.
B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为
（1）求椭圆E的方程； （2）在平面直角坐标系
中，是否存在与点P不同的定点Q，使得
恒成立？若存
在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）
；（2）存在，Q点的坐标为
在椭圆E上.
.
【解析】（1）由已知，点
因此，
解得.
.
所以椭圆的方程为
（2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点. 如果存在定点Q满足条件，则
所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为
，即.
.
当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点. 则
，