北京市西城区2016年高三一模试卷参考答案及评分标准
高三数学（文科）
2016.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．B 2．A 3．B 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．?2 10．2 11.
3 y??233x 12．
333 b≥a?c 213．1464 14．注：第11，14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）
π2（Ⅰ）解：因为f(x)?sinxcosx?sin(x?)
4π1?cos(2x?)12……………… 4?sin2x?2 2
分
?111πsin2x??cos(2x?) 2222
111?sin2x??sin2x
22 21?sin2x?.
2
……………… 6
分
所以函数f(x)的最小正周期为π. ……………… 7
分
ππ1（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得f(x?)?sin(2x?)?.
632……………… 8
分
因为0≤x≤π，
2ππ2π 所以?≤2x?≤，
333所以?所以?分
3π≤sin(2x?)≤1. 2331π11?≤sin(2x?)?≤.……………… 1122322
且当x?5ππ1时，f(x?)取到最大值； 1262π31 当x?0时，f(x?)取到最小值??. ……………… 13分
622
16．（本小题满分13分）
?(a1?d)?(a1?5d)?10, （Ⅰ）（Ⅰ）解：由题意，得?(a?d)(a?5d)?21,?11分
……………… 3
?a1?8,?a1?2, 解得? 或?（舍）.……………… 5
?d??1,?d?1
分
所以an?a1?(n?1)d?9?n． ……………… 7分
9?n（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得bn?2.
aa 所以Tn?21?22??2an?2a1?a2??an.
所以只需求出Sn?a1?a2?分
由（Ⅰ），得Sn?a1?a2??an的最大值. ……………… 9
n(n?1)n217?an?na1??(?1)???n.
2221172289因为Sn??(n?)?， ……………… 11
228分
所以当n?8，或n?9时，Sn取到最大值S8?S9?36.
36所以Tn的最大值为T8?T9?2. ……………… 13
分
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为AD//BC，BC?平面ADD1A1，AD?平面ADD1A1， 所以BC//平面ADD1A1. ………… 2分
因为CC1//DD1，CC1?平面ADD1A1，DD1?平面ADD1A1， 所以CC1//平面ADD1A1. 又因为BCCC1?C，
所以平面BCC1B1//平面ADD1A1. ………… 3分 又因为B1C?平面BCC1B1，
B1 A1 C1 A B C
D D1
所以B1C//平面ADD1A1. ……………… 4分
（Ⅱ）证明：因为BB1?底面ABCD, AC?底面ABCD，
所以BB1?AC. ……………… 5分
又因为AC?BD,BB1
BD?B,
……………… 7
所以AC?平面BB1D. 分
又因为B1D?底面BB1D，
所以AC?B1D. ……………… 9分
（Ⅲ）结论：直线B1D与平面ACD1不垂直. ……………… 10分
证明：假设B1D?平面ACD1，
由AD1?平面ACD1，得B1D?AD1. ……………… 11
分
由棱柱ABCD?A1BC11D1中，BB1?底面ABCD，?BAD?90 可得A1B1?AA1，A1B1?A1D1， 又因为AA1
A1D1?A1，
所以A1B1?平面AA1D1D，
所以A1B1?AD1. ……………… 12分
又因为A1B1B1D?B1，
所以AD1?平面A1B1D，
所以AD1?A1D. ……………… 13分
这与四边形AA1D1D为矩形，且AD=2AA1矛盾，
故直线B1D与平面ACD1不垂直. ……………… 14分
18．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，………………2分
所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有1000?分
（Ⅱ）解：设 “至少有1人体育成绩在[60,70)”为事件M， ………………5分
记体育成绩在[60,70)的数据为A1，A2， 体育成绩在[80,90)的数据为B1，B2，B3， 则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种， 它们是：(A1,A2)，
30?750人. ……440(A1,B1)，
(A1,B2)，(A1,B3)， (A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B2,B3). 而事件M的结果有7种，它们是：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)， (A2,B1)，
(A2,B2)，(A2,B3)， ………………7
分
因此事件M的概率P(M)?7. ………………910分
（Ⅲ）解： a，b，c的值分别是为70，80，100. 分
19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为椭圆C：
x2y2， 3m?m?1 所以
a2?3m，
b2?m， 分
故
2a?23m?26，解得m?2，
所以椭圆C的方程为x26?y2 2?1. 分
因为c?a2?b2?2， 所以离心率e?ca?63. 分
（Ⅱ）解：由题意，直线l的斜率存在，设点P(x0,y0)(y0?0)，
则线段AP的中点D的坐标为(x0?32,y02)， 且直线AP的斜率ky0AP?x， 0?3分
由点A(3,0)关于直线l的对称点为P，得直线l?AP，
………………13
………………1
………………3
………………5 ………………7