三角形全等证明 重点 难点 概念 符号 三角形全等的判断 全等三角形的性质 全等三角形的边角 证明全等三角形方法 SSS 全等三角形的概念和全等三角形的性质。 1.理解全等三角形中的边与角之间的对应关系。 2.利用概念证明两个三角形全等。 能够重合的两个三角形叫做全等三角形。 全等的符号“≌”。 1.三组对应边分别相等的两个三角形全等（SSS）。 2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。 3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。 4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 5.直角三角形中斜边及其一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。 1.两全等三角形对应的边，角相等。 2.两全等三角形的周长，面积相等。 3.两全等三角形对应角的角平分线相等。 4.两全等三角形对应边上的高相等。 5.两全等三角形对应边上的中线相等。 例如：△ABC≌△DEF，则： 1. AB = DE , AC = DF , BC = EF 2. ∠ABC = ∠DEF , ∠ACB = ∠DFE , ∠BAC = ∠EDF 注：在全等三角形，应将对应顶点的字母写在对应位置上。 1.从已知条件出发，由已知条件中的对应关系找出全等。 2.逆向考虑：从结论出发，看要证明的角（或者边）分别在哪两个三角形中。 3.结合条件和结论，看能否确定两三角形全等。 证明方法举例 点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE、AC=DF、BE=CF。 求证：△ABC≌△DEF。 解题思路： 由已知条件AB=DE，AC=DF知道，要证明△ABC≌△DEF还差一个条件（BC=EF）, 而已知条件中还有BE=CF，而通过观察发现EC分别为BC，EF的公共段，所以由 BE=CF得到BE+EC=CF+EC，即BC=EC。 ASA 已知：∠1=∠2，∠ABC=∠DCB。求证：AB=DC。 解题思路： A D 1 B 2 C 要证AB=DC，只要证△ABO≌△DOC。而我们由已知和图知∠1=∠2，∠AOB=∠DOC（对顶角相等），那么△ABO≌△DOC只差一个条件：两相等角之间夹边对应相等即可证明其全等（ASA），即只要证明BO=CO 再由已知∠ABC=∠DCB，∠1=∠2知∠ABC-∠1=∠DCB-∠2所以∠OBC=∠OCB所以： OB=OC（等角对等边） AAS 已知：在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AD，BF⊥AD。求证：CE=BF 解题思路： 由已知AD为中线，可知BD=CD, 由CE⊥AD，BF⊥AD知∠BFD=∠CED=90° 又∠BDF=∠CDE（对顶角相等） 所以△BDF≌△CDE(ASA) 所以：CE=BF SAS 如图AC=BD，∠CAB=∠DBA。求证：△CAO≌△DBO 解题思路： 由已知知：AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=BA（公共边） 所以△CAB≌△DBA（SAS） 后面有很多几种方法证明△CAO≌△DBO，例举两种： 1.∠ACB=∠BDA，∠COA=∠DOB，AC=BD 所以△CAO≌△DBO（AAS） 2.△CAB≌△DBA知∠OAB=∠OBA所以OA=OB 又因为∠CAB=∠DBA所以∠CAD=∠DBC 又因为AC=BD 所以△CAO≌△DBO（SAS） 例题： 1. 已知：如图，AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：AF=DE。
【解析】要证AF=DE，可证△AFB与△DEC全等，但还缺少相关角相等的条件，所以先证△AEB与△DFC全等。
【答案】 证明：∵CE=FB
∴CE+EF=FB+EF，即：CF=BE 在△AEB和△DFC中：
ECDAFB?AB?CD?
?AE?DF ?BE?CF?
∴△AEB ≌△DFC（SSS） ∴∠B= ∠C
在△AFB和△DEC中：
?AB?CD???B??C ?BF?CE?∴△AFB ≌△DEC（SAS） ∴AF=DE
2. 已知：如图，△ABC中，D是BC的中点，∠1=∠2，求证：AB=AC。
【解析】此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌ACD。因此一定要找到别的角相等才能证明这两个三角形全等，于是要利用角平分线来构造两个全等的三角形。
【答案】
证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∵∠1= ∠2，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等） ∵D是BC的中点 ∴BD=CD
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F ∴∠BED=90°，∠CFD=90° 在Rt△BDE和Rt△CDF中
?BD?CD ??DE?DF∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL） ∴BE=CF 同理可证AE=AF ∴AE+BE=AF+CF即AB=AC
作业：
A等级
1、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。
△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC
2、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。 OA=OB，OC=OD
3、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。 △ABC中，AB=AC，AE=AF，AD⊥BC于D
4、判断
( )1.三个角对应相等的两个三角形全等. ( )2.顶角及腰上的高相等的两个等腰三角形全等. ( )3.全等三角形对应的中线相等.
( )4.有一边相等的两个等腰直角三角形全等.
5、△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠B′，AB=B′C′，增加条件可使△ABC≌△B′C′A′(ASA).
6、△ABC中∠C=90°,BC＞AC，E在BC上，且BE=EA. ∠CAE∶∠B=4∶7,则∠CEA=_____. 7、△ABC中，∠C=90°，BE为角平分线，ED⊥AB于D，若AE+ED=5cm,则AC=_______. 8、四边形ABCD中，边AB=DC，AD=BC，∠B=40°,则∠C=.
9、△ABC中，AB=AC，两中线BE，CF交于O，则按条件所作图形中共有对全等三角形. 10、如图，AC⊥BE,AC=CE,CB=CF，把△EFC绕点C逆时针旋转90°,E落在______点上，F落在点上.
B等级 11、判断
( )1.全等三角形的对应角相等，反之也成立. ( )2.周长为16,一边长为5的两个等腰三角形全等. ( )3.有两个角及一条边相等的两个三角形全等. ( )4.有锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等.
12、BP为∠ABC平分线，D在BP上，PA⊥BA于A，PC⊥BC于C，若∠ADP=35°，则∠BDC=。