∴OA⊥AB， ∵弦CD∥AB， ∴AH⊥CD， ∴CH=CD=×8=4， ∵⊙O的半径为5， ∴OA=OC=5， ∴OH=
=3，
∴AH=OA+OH=5+3=8， ∴AC=
=4
．
∵∠CDE=∠ADF， ∴∴
==
， ，
．
∴EF=AC=4
【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
14．如图，已知△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠A，B在AD上的射影为E，EB交AM于N，求证：DN∥AB．
【考点】梅涅劳斯定理与赛瓦定理． 【专题】证明题．
【分析】注意到AE既平分∠BAC又垂直BE，延长BE、AC交于点F，根据三线合一可知△ABF是等腰三角形，从而E是BF中点，又由于M是BC中点，连接ME，则ME∥AF，
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于是从而
，对于△BDE和截线AMN由梅涅劳斯定理可得
，于是
，即
，结论得证．
，又CM=BM，
【解答】证明：延长BE、AC交于点F，连接ME，如图：
∵AE平分∠BAC，AE⊥BE， ∴BE=EF， ∵BM=CM， ∴EM∥AF， ∴∴
， ，
，
对于△BDE和截线AMN，由梅涅劳斯定理可得∴∴
，
，
∴DN∥AB． 证毕．
【点评】本题主要考查了劳涅劳斯定理的应用、三线合一、中位线、平行线分线段成比例定理及其逆定理等知识点，难度较大，对学生的数学素质要求较高．根据线段AE的“三线合一”特性构造等腰三角形是本题的突破口，后面的工作就是比例推导而已．
四．解答题（共1小题）
22
15．（2015?永春县自主招生）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x+2（m﹣2）x+m﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，
22
（1）若x1+x2=6，求m值； （2）求
的最大值．
【考点】二次函数的性质；根的判别式；根与系数的关系． 【分析】（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．
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（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
222
∴△=b﹣4ac=4（m﹣2）﹣4（m﹣3m+3）=﹣4m+4＞0， ∴m＜1，
结合题意知：﹣1≤m＜1．
（1）∵x1+x2=（x1+x2）﹣2x1x2=4（m﹣2）﹣2（m﹣3m+3）=2m﹣10m+10=6 ∴
，
2
2
2
2
2
2
∵﹣1≤m＜1， ∴ （2）
=
；
=
∴当m=﹣1时，式子取最大值为10．
（﹣1≤m＜1）．
【点评】本题的计算量比较大，需要很细心的求解．用到一元二次方程的根的判别式△=b﹣4ac来求出m的取值范围；利用根与系数的关系x1+x2=
2
，x1x2=来化简代数式的值．
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