（2）解：因为f?3???????????tan?????…………………………………………5分
44??34???tan?????……………………………………………………6分
?tan??2．…………………………………………………7分
所以
sin??2，即sin??2cos?． ① cos?22因为sin??cos??1， ② 由①、②解得cos??因为????,21．……………………………………………………9分 5??5253??，所以，．………………………10分 cos???sin????552??????cos?cos?sin?sin ……………………………………11分 ?444?所以cos???????
52?25?2310???????．…………………12分 ???52?5?21017．（本小题满分12分）
（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） （1）解：依题意，得分
解得a?3.……………………………………………………………………2分 （2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为
11?(87?89?96?96)??(87?90?a?93?95)，………………144x?92.……………………………3分
所以乙组四名同学数学成绩的方差为
s2?1?222287?92???93?92???93?92???95?92???9. ??4?…………5分
（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4?4?16种可能的结果．……………6分
这两名同学成绩之差的绝对值X的所有情况如下表： X 甲 87 乙 89 96 96 6
87 93 93 95 0 6 6 8 2 4 4 6 9 3 3 1 9 3 3 1 所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分
1214，P(X?1)?，P(X?2)?，P(X?3)?， 161616162312P(X?4)?，P(X?6)?，P(X?8)?，P(X?9)?.
16161616所以随机变量X的分布列为： 由表可得P(X?0)?X P 0 1 2 3 4 6 8 9 ……………………10分
12142312 1616161616161616随机变量X的数学期望为
EX?0?12142312?1??2??3??4??6??8??9?………11分 16161616161616166817??.……………………………………………………………12分 16418．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
（1）证明1：因为平面PAC?平面ABC，平面PAC?平面ABC?AC， PD?平面
PAC，PD?AC，
所以PD?平面
ABC．…………………………………………………………………………………1分
记AC边上的中点为E，在△ABC中，AB?BC，所以BE?AC．
因
2为
2A?B?62B，CAC?4，所以
BE?BC?CE??6??22?2．………………3分
P因为PD?AC，所以△PCD为直角三角形． 因为PD?3，CD?3， 所以PC?PD2?CD2???32?32?23．………4分
A
连接BD，在Rt△BDE中，因为BE?2，DE?1，
EDB
C
7
所以BD?BE?DE?22?2?2?12?3．…………5分
因为PD?平面ABC，BD?平面ABC，所以PD?BD． 在Rt△PBD中，因为PD?3，BD?3， 所以PB?PD?BD?22?3???3?22?6．………………………………6分
在?PBC中，因为BC?6，PB?所以BC?PB?PC．
2226，PC?23，
所以?PBC为直角三角形．……………………………………………………7分
证明2：因为平面PAC?平面ABC，平面PACI平面ABC?AC， PD?平面
PAC，PD?AC，
所以PD?平面ABC．……………………………………………………1分 记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为AB?BC，所以BE?AC．
因
2为
2A?B?62B，CAC?4，所以
BE?BC?CE??6?2?22?2．………………3分
o连接BD，在Rt△BDE中，因为?BED?90，BE?2，DE?1，
所以BD?BE?DE?2?2?2?12?3．………………………………4分
在△BCD中，因为CD?3，BC?6，BD?3，
222所以BC?BD?CD，所以BC?BD．………………………………………5分
因为PD?平面ABC，BC?平面ABC，
所以BC?PD．…………………………………………………………6分 因为BD?PD?D，所以BC?平面PBD．
因为PB?平面PBD，所以BC?PB．
所以?PBC为直角三角形．……………………………………………………7分
（2）解法1：过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连PH，
则?APH为直线AP与平面PBC所成的角．…………………………………8分
由（1）知，△ABC的面积S?ABC?因
为
1?AC?BE?22．…………………9分 2，
所
以
PD?38
1126VP?ABC??S?ABC?PD??22?3?．…………………………10分
333由（1）知?PBC为直角三角形，BC?6，PB?所以△PBC的面积S?PBC?6，
11?BC?PB??6?6?3．…………………11分 22因为三棱锥A?PBC与三棱锥P?ABC的体积相等，即VA?PBC?VP?ABC， 即?3?AH?132626，所以AH?．……………………………………12分 33在Rt△PAD中，因为PD?3，AD?1， 所以AP?PD?AD?22?3?2?12?2．………………………………13分
26AH6?3?因为sin?APH?． AP23所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为
6．…………………………………………………14分 3解法2：过点D作DM∥AP，设DM?PC?M， 则DM与平面PBC所成的角等于AP与平面PBC所成的角．……………………………………8分
由（1）知BC?PD，BC?PB，且PD?PB?P， 所以BC?平面PBD． 因为BC?平面PBC，
所以平面PBC?平面PBD．
A过点D作DN?PB于点N，连接MN，
则DN?平面PBC．
所以?DMN为直线DM与平面PBC所成的角．……10分 在Rt△PAD中，因为PD?3，AD?1，
22所以AP?PD?AD?PM
D
N BC
??32?12?2．……………………………………11分因
为DM∥AP，所以
DMCDDM3??，所以，即APCA249
DM?3．………………………………12分 2由（1）知BD?3，PB?所以DN?6，且PD?3，
PD?BD3?36．……………………………………13分 ??PB266DN6因为sin?DMN?， ?2?3DE32所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为
6．…………………………………………………14分 3解法3：延长CB至点G，使得BG?BC，连接AG、PG，……………………………………8分 在△PCG中，PB?BG?BC?6， 所以?CPG?90，即CP?PG．
在△PAC中，因为PC?23，PA?2，AC?4， 所以PA?PC?AC， 所以CP?PA． 因为PAIPG?P，
222oPK A
EDB
C
G
所以CP?平面
PAG．…………………………………………………………………………………9分 过点A作AK?PG于点K， 因为AK?平面PAG， 所以CP?AK． 因为PGICP?P，
所以AK?平面PCG．
所以?APK为直线AP与平面PBC所成的
角．……………………………………………………11分 由（1）知，BC?PB， 所以PG?PC?23．
在△CAG中，点E、B分别为边CA、CG的中点，
10