所以AG?2BE?22．………………………………………………………12分 在△PAG中，PA?2，AG?22，PG?23， 所以PA?AG?PG，即
222PA?AG．……………………………………………………………13分
因为sin?APK?AG226． ??PG233所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为
6．…………………………………………………14分 3解法4：以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系E?xyz，……………………………………………………………………8分
则A?0,?2,0?，B????于是AP?0,1,??2,0,0?，C?0,2,0?，P?0,?1,3?．
????????3?，PB??2,1,?3?，PC??0,3,?3?． A
Pz 设平面PBC的法向量为n??x,y,z?，
??????n?PB?0,则???? ???n?PC?0.??2x?y?3z?0,即? ??3y?3z?0.取y?1，则z?3，x?EDCy
x
B 2．
所以平面PBC的一个法向量为n??2,1,3．………………………………12分
?设直线AP与平面PBC所成的角为?，
????AP?n????46则sin??cos?AP,n?????． ???3AP?n2?611
所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为
6．………………………………14分 3若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：
（1）以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系
E?xyz，……………………………………………………………………………z1 分 P 则B?2,0,0，C?0,2,0?，P0,?1,3．
???????????于是BP??2,?1,3，BC??2,2,0．
????????????因为BP?BC??2,?1,3??2,2,0?0，
????A
EDCy ????????所以BP?BC．
x
B 所以BP?BC．
所以?PBC为直角三角形．…………………………………………………………7分 （2）由（1）可得，A?0,?2,0?．
????????于是AP?0,1,3，PB????????2,1,?3，PC?0,3,?3．
???设平面PBC的法向量为n??x,y,z?，
??????n?PB?0,??2x?y?3z?0,则????即 ????n?PC?0.??3y?3z?0.取y?1，则z?3，x?2．
所以平面PBC的一个法向量为n??2,1,3．…………………………………12分
?设直线AP与平面PBC所成的角为?，
????AP?n????46则sin??cos?AP,n?????． ???3AP?n2?6所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为
6．……………………………14分 312
19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：设等比数列?an?的公比为q，依题意，有
2a4?4a5?a?,??a3?a4?2a5,?3即……………………………………………2分 2??2??a3?2a2.?a?2a2.2?3234??a1q?a1q?2a1q,所以?2…………………………………………………………3分 22??a1q?2a1q.1?1a?,?1?a?,??2由于a1?0，q?0，解之得?或?12………………………………5分
?q?1.??q??1.??2又a1?0,q?0，所以a1?11,q?，…………………………………………6分 22n?1?*所以数列?an?的通项公式为an???（n?N）．………………………………7分
?2?（
2
）
解
：
由
（
1
）
，
得
bn?2n?52n?51?an??n．………………………………8分
?2n?1??2n?3??2n?1??2n?3?21?1?2???n
?2n?12n?3?2所以bn???11?．………………………………………………10分
(2n?1)2n?1(2n?3)2n所以Sn?b1?b2?L?bn
??1?11?11??1?????L??? ???2?n?1n?35?25?27?22n?122n?32??????????11． ??n3?2n?3?213
故数列?bn?的前n项和Sn?11．…………………………………14分 ?3?2n?3?2n20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
（1）解：依题意可得A(?1,0)，B(1,0)．……………………………………………1分
y2设双曲线C的方程为x?2?1?b?0?，
b21?b2因为双曲线的离心率为5，所以?5，即b?2．
1y2?1．……………………………………………3分 所以双曲线C的方程为x?42（2）证法1：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），直线AP的斜率为k（k?0），
则直线AP的方程为y?k(x?1)，………………………………………………4分
?y?k?x?1?,?联立方程组?…………………………………………………5分 y22?1.?x??42222整理，得4?kx?2kx?k?4?0，
??4?k24?k2解得x??1或x?．所以x2?．……………………………………6分 224?k4?k4?k2同理可得，x1?．……………………………………………………………7分
4?k2所以x1?x2?1．……………………………………………………………………8分
证法2：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），
14
则
kAP?y1x1?1，
kAT?y2．…………………………………………………………………………4分 x2?1y12y22y1y2?，即．………………5分 ??kAT，所以22x1?1x2?1?x1?1??x2?1?21因为kAPy12y222?1，x2??1． 因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以x?442222即y1?4x1?1，y2?41?x2．…………………………………………6分
????所以
4?x12?1??x1?1?2?4?1?x22??x2?1?2，即
x1?11?x2．…………………………………7分 ?x1?1x2?1所以x1?x2?1．………………………………………………………………………8分 证法3：设点P(x1,y1)，直线AP的方程为y?y1(x?1)，……………………4分 x1?1y1?y??x?1?,?x1?1?联立方程组?………………………………………………5分
2?x2?y?1.??4222222?4(x?1)?yx?2yx?y?4(x?1)?0， 整理，得?11111??解得
x??1或
4(x1?1)2?y12．…………………………………………………………………6分 x?4(x1?1)2?y12114(x1?1)2?y12x?x?将y?4x?4代入x?，得，即． 222x1x14(x1?1)?y12121所以x1?x2?1．……………………………………………………………………8分 （3）解：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），
15