????????则PA???1?x1,?y1?，PB??1?x1,?y1?．
????????因为PA?PB?15，所以??1?x1??1?x1??y12?15，即x12?y12?16．…………9分
y12?1，所以x12?4x12?4?16，即x12?4． 因为点P在双曲线上，则x?421因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1?x1?2．………………………10分
111|AB||y2|?|y2|，S2?|OB||y1|?|y1|， 222122222222所以S1?S2?y2?y1??4?4x2???x1?1??5?x1?4x2．…………………11
4因为S1?分
由（2）知，x1?x2?1，即x2?设t?x12，则1?t?4，
1． x1S12?S22?5?t?设f?t??5?t?4． t44?2?t??2?t??，则f?t???1?2?， ttt2当1?t?2时，f??t??0，当2?t?4时，f??t??0， 所以函数f?t?在?1,2?上单调递增，在?2,4?上单调递减． 因为f?2??1，f?1??f?4??0，
22所以当t?4，即x1?2时，S1?S222当t?2，即x1?2时，S1?S2??min?f?4??0．………………………12分
??max?f?2??1．……………………………13分
所以S12?S22的取值范围为?0,1?．…………………………………………14分
2222说明：由S1?S2?5?x1?4x2?5?4x1x2?1，得S1?S2???22?max?1，给1分．
21．（本小题满分14分）
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（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）证明：设?1(x)?f(x)?g1(x)?ex?x?1，
x所以?1?(x)?e?1．…………………………………………………………1分
当x?0时，?1?(x)?0，当x?0时，?1?(x)?0，当x?0时，?1?(x)?0． 即函数?1(x)在(??,0)上单调递减，在(0,??)上单调递增，在x?0处取得唯一极小值，………2分
因为?1(0)?0，所以对任意实数x均有 ?1(x)≥?1(0)?0． 即f(x)?g1(x)≥0，
所以f(x)≥g1(x)．……………………………………………………………3分 （2）解：当x?0时，f(x)?gn(x)．……………………………………………4分
用数学归纳法证明如下：
①当n?1时，由（1）知f(x)?g1(x)．
②假设当n?k（k?N）时，对任意x?0均有f(x)?gk(x)，……………5分 令?k(x)?f(x)?gk(x)，?k?1(x)?f(x)?gk?1(x)，
*??1?x??f(x)?gk(x)， 因为对任意的正实数x，?k?1?(x)?f??x??gk由归纳假设知，?k?1?(x)?f(x)?gk(x)?0．……………………………6分 即?k?1(x)?f(x)?gk?1(x)在(0,??)上为增函数，亦即?k?1(x)??k?1(0)， 因为?k?1(0)?0，所以?k?1(x)?0． 从而对任意x?0，有f(x)?gk?1(x)?0． 即对任意x?0，有f(x)?gk?1(x)．
这就是说，当n?k?1时，对任意x?0，也有f(x)?gk?1(x)．
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由①、②知，当x?0时，都有f(x)?gn(x)．……………………8分 （3）证明1：先证对任意正整数n，gn?1??e．
由（2）知，当x?0时，对任意正整数n，都有f(x)?gn(x)． 令x?1，得gn?1??f?1?=e．
所以gn?1??e．……………………………………………………………………9分 再
1证
2对
3任
n意正整数
n，
111?2??2??2??2??1?1?????． 1??????????????g1??n?2!3!n!?2??3??4??n?1?1?2?要证明上式，只需证明对任意正整数n，不等式?成立． ??n?1n!???n?1?即要证明对任意正整数n，不等式n!????2?立．……………………………………10分
以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）： 方法1（数学归纳法）：
nn（*）成
?1?1?①当n?1时，1!???成立，所以不等式（*）成立．
?2?②假设当n?k（k?N）时，不等式（*）成立，
*1?k?1?即k!???．……………………………………………………………………11分
?2??k?1??k?1?则?k?1?!??k?1?k!??k?1???2????2??2?因
kk?1k．
为
?k?2?k?1??k?22????????1?????k?1???k?1???k?1????2?12分
k?1?0k?1?????k?????????，…
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?k?1?所以?k?1?!?2???2?k?1?k?2?????2?k?1．………………………………………13分
这说明当n?k?1时，不等式（*）也成立．
由①、②知，对任意正整数n，不等式（*）都成立． 综上可知，对任意正整数
n?，不等式
?21???212?????3??2?2????43??????n??n2?gn??1??1?成立．?e ???………………14分
方法2（基本不等式法）： 因为n?1?n?1，……………………………………………………11分 2n?1， ?n?1??2?2……，
1?n?n?1， 2n?n?1?将以上n个不等式相乘，得n!???．…………………………………13分
?2?所以对任意正整数n，不等式（*）都成立． 综上可知，对任意正
整
数
n?，不等式
?21???2
12?????3??2?2????43??????n??n2?gn??1??1?成立．?e ???……………14分
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