20、不能。
21、如果?1和?2是体系的可能状态，那么，它们的线性叠加??c1?1?c2?2（c1、c2是复数）也是这个体系的可能状态。
?满足下列等式???F?d??22、如果对于两任意函数?和?，算符F??为厄米算符。 F???d?，则称F????23、??a?a???a??a?1 a,?a??1即??????又?Na??a
??n?a??aa??n??aa????1?a?n?aN???a?n?aN??n?a?n?an?n?a?n?a??n-1?n?Na?n??n-1?a??
??an?cn-1
?n?nnn?n且又?nN?c?n
取c??0?222?n?n?nNa??an?ncn?c
n得?an?nn-1
'24、En?En?Hnn??0??E???E??????
m0n0mH'nm2?n??nH'mn?0????0???0?m???? mEn?EmH'mn适用条件：?0??0???1
En?Em?是厄米算符，但不是角动量算符。 25、???r在位置表象和动量表象下的本征态分别为????r??26．有关，例如?P?132??ei??r?P????和????P????P?P0?，
P0它们的量纲显然不同。
P?r???r??Ce?27．坐标表象下动量的本征方程为?P，它有两种归一化方法：①归一化为?函数：由
??1???????????C??r?rd???P?P得出；②箱归一化：假设粒子被限制在一个立方体中，????P?P?3?2???2i??边长为L，取箱中心为坐标原点，要求波函数在箱相对面上对应点有相同的值，然后由
??????P????r???r?d??1得出C??P?1L32。
28．不能，因为所作用的波函数不是任意的。 29．第一步:写出体系的哈密顿算符；
第二步:根据体系的特点(对称性,边界条件和物理直观知识),寻找尝试波函数????,λ为变分参数,它能够调整波函数(猜一个)；
第三步:计算哈密顿在????态中的平均值
6
H(?)?*??(?)H(?)?(?)d???*(?)?(?)d?
第四步:对H???求极值,即令
E0?Hmin???，?0???Hmin
30．不可以。
dH????0,求出Hmin???,则
d???31 不考虑自旋时，当粒子在库仑场中运动时，束缚态能级可表示为En，其简并度为n2。若考虑粒子的自旋为s，则En的简并度为(2s?1)n2。
2?2?1??L2???32 粒子在奏力场中运动时，Hamilton算符为：Hr??U?r?，则有：2?r2?r?r2?r2?,H????L?,H???0，又因角动量不显含时间，得dF?0、角动量守恒。 ?Ldt2?33旧量子论给出线性谐振子的基态能量为零而量子力学认为其基态有能量，为明，在旧量子论中粒子出现区域以外也有发现粒子的可能。
1??；另外，量子力学表234在氢原子外场作用下，谱线（n?2?n?1）发生分裂（变成3条）的现象。 35
?j,m?J?j?j?1??m?m?1??j,m?1。
2336波函数的量纲由坐标?的维数来决定。对一维、二维、三维，?的量纲分别为[L]、[L]、[L]，则波函数的量纲依次为L?12、L、L?1?32。
?]不是厄米算符，i[F?]是厄米算符。 ?，G?，G37 [F??)?i?F?? ?,G?,G因为(i?F??????,a?对于能量本征态的作用结果是： 38 证明：可证明算符a??n???n?n?1 a??n???n?n?1 (1) a?,?为待定系数。上式的共轭方程是： ??????n?n?1 na?????n?n?1 (2) na??a?n?n ????na?a??n?n?a??a??1?n?n?1 ????na适当选择态矢量n的相因子(e)，总可使?和?为非负实数。 因此，
i?式(1)和(2)相乘（取内积）并利用已知条件，即得：
??n??n,??n??n?1
故得证。
39 利用量子力学的含时微扰论，可以直接计算出受激发射系数和受激吸收系数；但由于没有考虑到电磁场的量子化（即量子力学中的二次量子化），自发跃迁系数不能直接被推导出来，可在量子电动力学（QED）中计算出。
?表示J?与J?之和：J??J??J?；算符J?,J?,J?2,J?2相互对易、有共同本征矢j,j,j,m，40 以J121212z12
7
?2和J?的对应本征值依次为j?j?1??2和m?。j,j,j,m组成正交归一完全系，以它们为j和m表明J12z基矢的表象称为耦合表象。
41、 是。??P?C1u?x,y,z??C2v?x,y,z???C1?P?u?x,y,z???C2??Pv?x,y,z??且
??????????????????u??x,y,z??Pv?x,y,z?dxdydz???dxdydz
???????????u?x,y,z?v?-x,?y,?z?????????dXdYdZ?令X?-x, Y?-y, Z?-z?
????????u??-X,-Y,-Z?v?X,Y,Z???????? ?v?X,Y,Z?dXdYd Z??????u???X,?Y,?Z??????????? ??????Pu?X,Y,Z??v?X,Y,Z?dXdYd Z????????????? ??u?x,y,z??v?z,y,z?dzdyd z?????????P? ?P?是线性厄米算符。 42、几率流密度J??i?2m(???*??*??)与几率密度???*?满足的连续性 方程为：????t???J?0 11143、 x??2???2n???????2?2??????a??a??????n???2??????a?n????2??????a??n
11???2n???2????2????????n-1??2?????n?1?n?1
x2????n?2????a?a???a??a???n??2????aa??n??aa???n?a??a??n?a??a???n???2???n?n?1??n-2??n?1??n?n?n??n?1??n?2??n?2?
??2???n?n?1??n-2??2n?1??n??n?1??n?2??n?2?1ddx??i??p??????2x?n?2?????a??a?n??n1
??????2?2????n?n-1?n?1?n?1?
8
d2???i??????????p??a?aa?a?n??nxn22?dx???2??????????????a???a2?n?a???n?a??a??n?a??a???n?a??n?1??n?2??n?2??2??2?
n?n?1??n-2??n?1??n?n?n?n?n?1??n-2??2n?1??n??n?1??n?2??n?2?1i?mkt??Hedt?其中，mk?i?0t244、一级近似下，由初态
?k跃迁到终态?m的几率为：Wk?m?1??m??k?。 ???H?mk???mH??kd?，?mk?2??45、?J1, J1z, ?J22, J2z相互对易，有共同的本征态j1 m1 j2 m2?j1 m1 j2 m2，则该本征态对应的表象
为无耦合表象。 46
??n?线性谐振子定态波函数的递推公式：x1212?1?n?1n?????n?1n?1? ，???22?di?????????x?n?????n?pa?a??????ndx??2???2?????n?n-1?n?1?n?1，其中，?n为线性谐振子定态
?波函数，?????。
??C???C?G???CG??。 47不是，因为G48在本征值分立的基组中，厄米算符是厄米矩阵。
49为了使越迁几率不为零，一定对量子数做了某些限止，这些限止即为选择定则。 50
?jm?J?。 j?j?1??m?m?1??jm?1。
51．束缚态:能量小于势垒高度，粒子被约束在有限的空间内运动，它的波函数在无限远处为零。
????????????52．Px?，P??，x?x，r?xi?yj?zk
ii?x???53．当U(r)不显示时间t，设?(r,t)??(r)f(t)代入含时薛定谔方程
?????(r,t)?22?i?????(r,t)?U(r)?(r,t)，分离变量得：
?t2???df(t)i?1?22???[???(r)?U(r)?(r)] f(t)dt?(r)2?这个等式左边只是t的函数，右边只是r的函数，而t和r是相互独立的变量，所以只有当两边都等于同一常量时，等式才能满足。以Ｅ表示这个常量，由等式右边等于Ｅ，有：
??????22????(r)?U(r)?(r)?E?(r) 2?此即为定态薛定谔方程。
9
5４．对于氢原子，其偶极跃迁的选择定则对主量子数n没有限制，因为在计算跃迁几率时，与主量子数
有关的积分
??0Rn?l?(r)Rnl(r)r3dr在n和n?取任何整数值时均不恒等于零。
5５．在初等量子力学中，自旋是作为一个基本假定引入的。
56不一定能归一化，因为波函数满足的方程不是线性方程时，? 与C?表示的就不一定是同一态。 57在动量表象中：?x?i????????，?，rpx?px，P?P ?i??p?px???F??1的算符为幺正算符。 58满足F59因为光波中的磁场对电子作用的能量约为电场对电子作用能量的60 四行一列。
??1，所以忽略了磁场对电子的作用。 137??h?。61德布罗意关系：P?n??k
?自由粒子的德布罗意波：??Aei???p?r?Et??
???62由???0dx???????0?????e??2x2dx?1得：?e0??2x21????2x2? dx??edx?2??2?令???得
2???0e??xdx?21? 2??63首先求解力学量F的本征方程：?F?n??n?n?F??????，然后将??r,t?按F的本征态展开：
??r,t???cn?n??c???d?，则F的可能值为?1,?2,???,?n,?，F??n的几率为cn，F在?~??d?2?n范围内的几率为c?d?。 64 可以适用。
65自旋是一种内禀角动量，并不是自转。
66光是粒子和波的统一。
67不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。
23???，(n?n1?n2?n3；n1,n2,n3?0,1,2,???) 2??(n?1)?n?2? En的简并度为。
269不一定。偶极近似下的结果才为?l??1，在多极近似下或精确解时?l??3也可能会实现。
68球谐振子能级En????n?70克莱布希－高豋系数是为了实现无耦合表象和耦合表象之间的变换而提出的。
71、?与??2?在球坐标系下为同一点,根据波函数的单值性,同一点应具有同一值,故球坐标系下波函数
??r,?,??为进动角?的周期函数.
??2??2??2?????U72、二维定态薛定谔方程:??0???E?. 22???y??2???x?令???x?y,E?Ex?Ey,U0?Ux?Uy.
10