??2d2?x?Ux?x?Ex?x??2?2?dx可得? 22d?y????Uy?y?Ey?y2??2?dy?A?,A?,?,它们的共同本征函数记为?(k是一组量子73、设有一组彼此独立而又相互对易的厄米算符Ak12?A?,A?,?构成体系的一组力学量完数的笼统记号).若给定k之后就能够确定体系的一个可能状态,则A12全集.力学量完全集中厄米算符的数目与体系的自由度数相同. 74、氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象,称为氢原子的stark效应.加入外电场后,势场的对称性受到破坏,能级发生分裂,使简并部分被消除,可用简并情况下的微扰理论来处理.在一级stark效应中,由于通常情况下,外电场强度比起原子内部的电场强度要小得多,故可以把外电场看作微扰.
?????????????????????????2i????75、将S??代入自旋角动量定义式S?S?i?S得?,即算符?不满足角动量定义式. ?i??276经典物理无法解释近代物理出现的黑体辐射，光电效应，原子光谱与原子结构等问题。在Plank, Einstein, Bohr, de Broglie 等的基础上，Heisenberge, Schrodinger, 分别提出矩阵力学、波动力学，经Dirac, Pauli等人的完善发展形成了当今的量子力学。
????zp???xp??i?z?i?x77 ， L yxz?x?z????xp??L?yp??i?x?i?y， zyx?y?x222??????????????22?L??????y?z?z?y????z?x?x?z????x?y?y?x???
??????????78不一定成立，仅当l?l?时成立。因为角动量的本征态（对应量子数l）是关于角向正交归一的。
H?79不适用，n很大时，En(0)?Em(0)可能很小， ?0?mn?0???1不成立，
En?Em80
H?不能看作微扰。对定态简并情形也一样。
??????????????????L?r?p，J?J?i?J，自旋按后者定义S?S?i?S
81． 由??x?dx?1 x量纲为[L] 知，??x?的量纲为[L]-1。
???T??U?， 82． 在定态问题中，Hp2 E?T?U??U?U?Umin，
2?即定态能量的最小值不可能低于势能的最小值。
???E?，其中 83． 一维线性谐振子能量本征值方程 Hnnn1??En??n????
2????2x2??n?Nnexp???2??Hn??x?
????i???i????????引入产生、消灭算符 a ???x?pa?x?p??????????2?2??p211???1???????a???????N???2x2 故 H因 H?????， 以Dirac符号n表示?n，则?a2?2?2?2???的本征值为n,以n为基矢的表象称为占有数表象。 ?n?nn，算符NN
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???A?B????A?,B??A?B???B?,C?,则C84．令A???A?B?C????????B?,若A??A?A?B?,有??B?A?,B??0则A?B????B?,即C?为厄米算符。 ??C?A85． 在量子跃迁问题中，一级近似时忽略光波中磁场对原子的作用能，并假设光波长远大于原子线度，
得出跃迁几率?k?m?ermk，其中er为电子偶极矩，故称此种近似处理方法为偶极近似。 86、旧量子理论有下列不足：其角动量量子化的假设很生硬；比氢原子稍复杂的体系解释的不好；即使是
氢原子，对其谱线强度也无能为力。
量子力学的优点：量子化是解方程得出的很自然的结果；可以解释比氢原子更复杂的原子；对于氢原
子不仅可以给出谱线的位置，也可以给出谱线的强度。
?2????i?87、设Lz?的本征值为m?，本征函数?m???12?eim?，其中m?0,?1,?2,???.
88、一个物理体系存在束缚态的条件是：存在能量值，其大小小于无穷远处的势能，且对应该能量的方程
存在满足无穷远处为零的边界条件的解。
89、一个抽象的希尔伯特空间中的矢量可以按照不同的完备基展开,称为不同的表象.设力学量完全集A的
共同正交归一本征函数组为?1,?2,?3,????m，力学量完全集B的共同正交归一本征函数组为
?1,?2,?3,????m,将{?n}用{?n}展开得到基矢的变换规则：????Sn??n，以Sn?为矩阵元的矩阵Sn?为变换矩阵满足SS?1。把矢量?用两组基展开,???a?nnn??bn?n,坐标分量的变换规则为
nak??Sknbn,bk??(S)knan,力学量在不同表象下的矩阵元之间的变换规则为
?1nnF?????(S)FijASj?,即FB?S?1FAS.
B?1ij?2?J??J?90、J12???i2?2?J?2?J?J????J1212?J2J1
22????2?J?2?2J??J? ??由于J1和J2对易，故J?J1?J2?J1212?2,J?2?J?2,J?2?J?2,J?2?2J?2,J??J??J?1???????J?,J???2?J??0?0?2J112111212????121??J? ,J12?2??091．旧量子论即玻尔(Bohr)的量子论（稳恒轨道＆定态跃迁＆量子化条件）加上索末菲(Sommerfeld)在此基础上的推广，故亦称玻尔理论或玻尔与索末菲的理论.由于经典理论在两者的头脑中已根深蒂固，这使得他们把量子力学的研究对象——微观粒子（电子，原子等）看作经典力学中的质点，进而把经典力学的规律用在微观粒子上. 这样，就造成了旧量子论存在以下几点不足： ①“角动量是?的整数倍”这一量子化条件很生硬.
②只能很好解释氢原子或较好解释只有一个价电子（Li,Na,K等）的光谱结构，而对于稍复杂例如简单程度仅次于氢原子的氦原子，则已无能为力. ③即使对于氢原子，也只能求其谱线频率，而不能求其强度.
92． 由于量子力学在描述微观粒子的运动时，认为它没有确定的轨道，而是用波函数绝对值的平方表示
粒子在空间各处出现的（相对）几率. 因此在解释原子中电子的运动时，量子力学可用电子云图形象地表示出电子在空间各处出现的几率. 基于此，对于旧量子论中氢原子的“轨道”，量子力学解释为电子在原子核周围运动的径向几率密度最大处.
?,L?不对易. 但在态?中，?,L?,L??,L?]?i?L?知，???0 得到Lz?0；93．由[L算符L由①L②L00z00xyzxyzxy
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??0.即两个不对易的力学量不一定不能同时确定. 在此态中地位平等，得Lx?Ly?????,J?)?实际上“在角动量J的任何一个直角坐标分量(Jz)的本征态下，J 的另外两个分量(Jxy的平均值均为0.”——参见钱伯初与曾谨言所著《量子力学习题精选与剖析》(第二版)第165页.
?(0)部分的本征值与本证函数未知,94．在量子力学的近似方法中,微扰法有一定的适用范围,即当其中的H??不是很小时,微扰法就不再适用.变分法不受上述条件的制约,但在求解基态以上近似时则相当麻或H烦,故只常用来求解基态能级与基态波函数.其基本思想是:
?的平均值总是大于体系的基态能量E,而只有当对于某一确定体系,用任意波函数?计算出的H0?的平均值才等于基态的能量,相应的波函数为基态波函数.这样,?恰好是体系的基态波函数?0时, H?的平均值,这些平均值中最小的一个最接近于E. 我们可以选取许多?并计算出相应H0基于此,用变分法求基态能量和基态波函数的步骤为: ① 取含参量?,归一化,且有物理意义的尝试波函数??r,??,
???d?, ② 求平均值H?????H??③ 求极小值?0:
dH?0, d?④ 得基态能量E0?H??0?, 基态波函数?0????0,r?.
需要注意的是,在选尝试波函数时,需要许多技巧.
??表象下.电子的三个泡利(Pauli)矩阵为： 95．在Sz
?x???10??,?y???i????01??0?i??10???,??z?0?1??. 0????96．同人们理解所有基本概念的过程一样,人们对物质粒子波动性的理解也并非一帆风顺：由于深受经典概
念的影响,包括波动力学的创始人在内,他们把电子衍射实验中的电子波看成三维空间中连续分布的某种物质波包,波包的大小即电子的大小,波包的群速度即电子的运动速度.但这种观点连自由粒子的运动都无法解释:随着时间的推移,与自由粒子对应的物质波包必然要扩散,即导致粒子越来越“胖”,这与实际相矛盾;物质波包的观点夸大了波动性的一面,抹杀了粒子性的一面,带有片面性;
与物质波包相反的另一种看法是,波动性是由于有大量粒子分布于空间而形成的疏密波.但电子衍射实验表明:即使是单个电子也具有波动性.这种观点夸大了粒子性的一面,而抹杀了粒子具有波动性的一面.
以上观点的局限在于试图用经典的观点给予解释.
经典力学中说到一个“粒子”时,意味着一个具有一定质量和电荷等属性的客体,物质粒子的这种“原子性”是实验证实了的.而粒子具有完全确定轨道的看法在宏观世界里则只是一个很好的近似,无限精确的轨道概念从来也没有为实验所验证过;经典力学中说到一个“波动”时,总是意味着某种实
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在的物理量的周期性空间分布.但实际上,更本质的在于波的相干叠加性.
分析电子衍射实验可知,电子所呈现出来的粒子性,只是经典粒子概念中的“原子性”,而并不与“粒子具有确定的轨道”的概念相联系;电子所呈现的波动性，也只不过是波动最本质的东西——波的叠加性，而不与某种实在的物理量在空间的波动相联系.
把粒子性与波动性统一起来,更确切的说,把微观粒子的“原子性”与波的“叠加性”统一起来的是M.Born(1928),他在用薛定谔方程处理散射问题时为解决散射粒子的角分布而提出了波函数的统计解释：波函数在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的几率成比例.即描写粒子的波为几率波.
??22??97．定态薛定谔方程:????U?2????E?.
????22???取其复共轭:????U???E??, (?E为实数,且U??U) ??2??即?也是对应同一本征能级的解.
如果能级不兼并,则?与?是同一量子态,故可设??轭:??c??2????c?(c为常数).取复共
?c??c?1?c?ei?,?为实数,取相位??0,则????即?可以取为实数.
98．我们知道,几何中的矢量,经典力学中的规律,都和所选坐标系无关.同样量子力学的规律也应和所选用的表象无关,态和力学量的描述可以不涉及具体表象,为此Dirac最先引入了狄拉克符号.
??H?(0)?H??中:①H?(0)?(0)?E(0)?(0)已解出, ②H??是小量. 99．前提是Hnnn理论适用条件:
?Hmn(0)(0)??1 ?En?. ?Em(0)(0)En?Em(0)(0)???的大小,还决定于能级间的距离En?Em即不仅决定于矩阵元Hmn,实际上,这一条件即H是小量的明确表示.
100．两个角动量可以是:①两个轨道角动量;②两个自旋角动量;③一个轨道角动量与一个自旋角动量.统一
????用J1,J2表示.两个角动量耦合时:
m?m1?m2,
j?j1?j2,j1?j2?1,?j1?j2.
j1 和j2所满足的关系称三角关系
??j1,j2,j?.
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河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 3、测不准关系是否与表象有关？
?4、在简并定态微扰论中，如H(0)(0)的某一能级En，对应f个正交归一本征函数?i（i=1，2，?，f），
?为什么一般地?i不能直接作为H5、在自旋态?12??0??H??的零级近似波函数？ ?H?)2?(?S?)2是多少？ ?的测不准关系(?S?和S(sz)中，Sxyxy??二（20分）求在三维势场U?x,y,z????0三（20分）求氢原子基态的最可几半径。
其它区域中运动的粒子的定态能量和波函数。
当x?a且y?b?c??四（20分）已知哈密顿算符H在某表象下H????0?2?bi?且知其基态E0=－3?050a?i??0? 2???，求实数a，b，c。
???表象下，S五（20分）求在Snz求Sn??1?x?(2?232?z)的本征值及本征函数。当体系处于?1(sz)态时，?2?的几率为多少？ 21、条件：①能量比无穷远处的势小；②能级满足的方程至少有一个解。 2、不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。 3、无关。
??0??E?0?4、因为作为零级近似的波函数必须保证Hn?45、。
16?????E??????有解。 ???????H1n11n0n二、解：此三维势场可分解为三个一维势场的叠加：
?0U?x?????x?a?0 ；U?y???其它??y?b； U?z??0－ 其它其波函数也可分为三个一维波函数的乘积
??x,y,z???x?x??y?y??z?z?
由U?x?,U?y?,U?z?的形式可得：
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