?1nπsinx(x?a)??x?x???a2a?0?nx?1,2,3,???
222x?anxπ? Ex? 28?a其它nyπ?1sin(y?b)??y?y???b2b?0?ny?1,2,3,???
222nyπ?y?b Ey? 2其它8?b1?zPz?z?z??e
2??p2Ez?z－－－
2?则可得粒子的定态能量为：
222222nxπ?nyπ?p2zE???8?a28?b22?i
nx,ny?1,2,3,???
波函数为
iny??zPznx?1sinx?a?siny?b?e??????x,y,z???2?ab?2a2b?0?当x?a且y?b其它
nx,ny?1,2,3,???
三、20分，主要考察对氢原子问题的理解。
2解：氢原子处于基态的几率密度为ω=rR10，
2
最可几半径对应于几率密度最大之处，即
由 －―－
得r＝a0 时几率密度有极值，即氢原子的最可几半径为a0－
四、20分，主要考察厄米算符及其矩阵表示。
解：由算符的厄米性质可知a＝2，b＝1且c为实数－－
dω222=0 可得 2rR10－（2r×R10）/a0 ＝ 0 （a0是氢原子的第一玻尔轨道半径）d r?x1???设本征态为?x2?，本征值为???则有
?x??3? 16
0a?i??x1??c???????050??x2?＝??????2?i02????x3?c??05??可得久期方程为02?i0?x1????x2? ?x??3?2?i0＝0 2??2?c?(c?2)2?20得到??3
2于是得到c＝-2－－－－－
五、20分，主要考察自旋投影的本征方程及其几率分布。
?表象下 解：在Sz??????Sn2???设其本征值为?得久期方程
31??31?22?????? ??4?1－3?13?－?22??a???，本征态为? ??4?b?3??1则本征值为?1?3??? 2＝0 ? λ＝?2－－－
有
??31????4?1－3???a?????＝?b?4???a???b??成立 ??当本征值为
?时，即λ＝2代入上式的b＝(2-3)a 2a??2?3?1????则有本征态为，归一化为?2?3??记为?1 ?2?3a?2??????同理当本征值为??时，其本征态为?2＝21?2?3???－－?1(Sz)可写为??2??2?3?2C1?1+C2?2形式，其中C1=?1??1(Sz)＝
22＋3 2可得Sn＝
?2?32的几率为C1=－ 2417