2002年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)
??e?dx= xln2x .
y(2)已知函数y?y(x)由方程e(3)微分方程yy???(4)已知实二次型型
?6xy?x2?1?0确定,则y??(0)=
x?0
.
.
y?2?0满足初始条件y?1,y'x?0?1的特解是 222f(x1,x2,x3)?a(x12?x2?x3)?4x1x2?4x1x3?4x2x3经正交变换x?Py可化成标准
f?6y12,则a= .
2(5)设随机变量X服从正态分布N(?,?
.
)(??0),且二次方程y2?4y?X?0无实根的概率为
1,则?＝2二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质: ①f(x,y)在点(x0,y0)处连续; ③f(x,y)在点(x0,y0)处可微;
②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续; ④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在．
若用“P?Q”表示可由性质P推出性质Q,则有
(A) ②?③?①. (C) ③?④?①.
?11n(2)设un?0(n?1,2,3,L),且lim?1,则级数?(?1)n?1(?)
n??uunun?1n?1n
(B) ③?②?①. (D) ③?①?④.
(A) 发散.
(B) 绝对收敛.
(D) 收敛性根据所给条件不能判定.
(C) 条件收敛.
(3)设函数y?f(x)在(0,??)内有界且可导,则 (A) 当limf(x)?0时,必有limf?(x)?0.
x???x???(B) 当limf?(x)存在时,必有limf?(x)?0.
x???x???f(x)?0时,必有limf?(x)?0. (C) 当lim??x?0x?0 1
f?(x)存在时,必有limf?(x)?0. (D) 当lim??x?0x?0
(4)设有三张不同平面的方程ai1x?ai2y?ai3z?bi,i?1,2,3,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为
(5)设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为为F1(x)和F2(x),则
(A) f1(x)＋(B)
f1(x)和f2(x),分布函数分别
f2(x)必为某一随机变量的概率密度.
f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度.
(C) F1(x)＋F2(x)必为某一随机变量的分布函数. (D) F1(x)
三、(本题满分6分)
设函数f(x)在x?0的某邻域内具有一阶连续导数,且f(0)?0,f?(0)?0,若af(h)?bf(2h)?f(0)在
F2(x)必为某一随机变量的分布函数.
h?0时是比h高阶的无穷小,试确定a,b的值.
四、(本题满分7分) 已知两曲线y?f(x)与y
五、(本题满分7分) 计算二重积分
六、(本题满分8分)
设函数f(x)在(??,??)内具有一阶连续导数,L是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(a,b),终点为(c,d).记
arctanx0??2edt在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方程,并求极限limnf().
n??n?t2??eDmax{x2,y2}dxdy,其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}.
2
I??1x[1?y2f(xy)]dx?2[y2f(xy)?1]dy, Lyy(1)证明曲线积分I与路径L无关; (2)当ab?cd时,求I的值.
七、(本题满分7分)
x36393x3n(1)验证函数y(x)?1????L??L(???x???)满足微分方程y???y??y?ex;
3!6!9!(3n)!x3n(2)利用(1)的结果求幂级数?的和函数.
n?0(3n)!?
八、(本题满分7分)
设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D?{(x,y)|x
2?y2?xy?75},小山的高度函数为h(x,y)?75?x2?y2?xy.
(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为g(x0,y0),试写出g(x0,y0)的表达式.
(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在
D的边界线x2?y2?xy?75上找出使(1)中g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.
九、(本题满分6分) 已知四阶方阵关,?1
十、(本题满分8分) 设A,B为同阶方阵,
(1)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当A,B均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.
十一、(本题满分7分) 设维随机变量X的概率密度为
A?(?1,?2,?3,?4),?1,?2,?3,?4均为4维列向量,其中?2,?3,?4线性无
?2?2??3,如果???1??2??3??4,求线性方程组Ax??的通解.
x?1cos,?f(x)??22??0,0?x??,其他.
3
对X独立地重复观察４次,用Y表示观察值大于
十二、(本题满分7分) 设总体X的概率分布为 ?2的次数,求Y的数学期望. 3X 0 1 2 3 P 其中?(0???2 2?(1??) ?2 1?2? 1?)是未知参数,利用总体X的如下样本值 23,1,3,0,3,1,2,3,
求?的矩估计值和最大似然估计值.
2002年考研数学一试题答案与解析
一、填空题 (1)【分析】 原式?
(2)【分析】 方程两边对x两次求导得
??e?dlnx1??ln2xlnx??e?1.
eyy'?6xy'?6y?2x?0,
① ②
eyy''?eyy'2?6xy''?12y'?2?0.
以x?0代入原方程得y?0,以x?y?0代入①得y'?0,,再以x?y?y'?0代入②得y''(0)??2.
(3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程.
令y'?P(y)(以y为自变量),则
y''?dy'dPdP??P. dxdxdyx?0?代入方程得
yPdPdP?P2?0,即y?P?0(或P?0,但其不满足初始条件y'dydy1). 2分离变量得
dPdy??0, Py积分得
lnP?lny?C',即P?C1(P?0对应C1?0); y由x?0时y?1,P?y'?4
11,得C1?.于是 22
y'?P?1,2ydy?dx,积分得y2?x?C2. 2y又由
yx?0?1得C2?1,所求特解为y?x?1.
(4)【分析】 因为二次型xAx经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A的特征值,所以6,0,0是A的特征值.
又因
(5)【分析】 设事件A表示“二次方程
T?a???,故a?a?a?6?0?0,?a?2.
iiiy2?4y?X?0无实根”,则A?{16?4X?0}?{X?
4}.依题意,有
而 即
二、选择题
1P(A)?P{X?4}?.
2?4??14??14??1??()?,?()?,?0.???4.
?2?2?P{X?4}?1?P{X?4}?1??(4??),
(1)【分析】 这是讨论函数f(x,y)的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,f(x,y)的两个偏导数连续是可微的充分条件,若f(x,y)可微则必连续,故选(A).
111u(2)【分析】 由limn?1?0?n充分大时即?N,n?N时?0,且lim?0,不妨认为?n,un?0,因
n???un???1unnn而所考虑级数是交错级数,但不能保证
按定义考察部分和
1的单调性. unSn??(?1)k?1nk?1nn111k?11 (?)??(?1)??(?1)k?1ukuk?1uuk?1k?1kk?1(?1)kn?11(?1)n?11l1?????(?1)???(n???),
ulu1un?1u1k?1ukl?1n?原级数收敛.
5