siny?sinxsiny?sinxxedy?yedx?(e?e)dxdy ???LD = = =
siny?sinxedxdy?e????dxdy DD??eDDsinxdxdy???e?sinxdxdy （利用轮换对称性）
DDsinx?sinx2(e?e)dxdy?2dxdy?2?. ????【评注】 本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期望通过计算出结果
去证明恒等式与不等式是困难的. 另外，一个题由两部分构成时，求证第二部分时应首先想到利用第一部分的结果，事实上，第一部分往往是起桥梁作用的.
六 、（本题满分10分）
某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0 (1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m表示长度单位米.） 【分析】 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限. 【详解】 (1) 设第n次击打后，桩被打进地下xn，第n次击打时，汽锤所作的功为Wn(n?1,2,3,?). 由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以 k2k2kxdx?x1?a， ?022x2k2k222 W2??kxdx?(x2?x1)?(x2?a). x122 W1?x1由W2?rW1可得 x2?a?ra 即 x2?(1?r)a. W3?22222k2k22kxdx?(x?x)?[x3?(1?r)a2]. 32?x222x3由W3?rW2?r2W1可得 x3?(1?r)a?ra， 2从而 x3?1?r?ra， 2222即汽锤击打3次后，可将桩打进地下1?r?r2am. 2n?1（2） 由归纳法，设xn?1?r?r???ra，则 Wn?1??xn?1xnk22kxdx?(xn?1?xn) 2 21 = k2[xn?1?(1?r???rn?1)a2]. 2由于Wn?1?rWn?r2Wn?1???rnW1，故得 2n?1 xn)a2?rna2, ?1?(1?r???r从而 xn?11?rn?1?1?r???ra?a. 1?rn于是 limxn?1?n??1a， 1?r1a m. 1?r即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下 【评注】 本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了，有一定难度。但用定积分求变力做功并不是什么新问题，何况本题的变力十分简单。 七 、（本题满分12分） 设函数y=y(x)在(??,??)内具有二阶导数，且y??0,x?x(y)是y=y(x)的反函数. d2xdx3(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程?(y?sinx)()?0变换为y=y(x)满足的微分方程； 2dydy(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?3的解. 2【分析】 将 1dydxdx1?，关键是应注意： 转化为比较简单，= y?dxdydydydxd2xddxd1dx?()=()? 2dydydxy?dydy = ?y??1y??. ???23???yy(y)然后再代入原方程化简即可. 【详解】 (1) 由反函数的求导公式知 dx1?，于是有 dyy?y??d2xddxd1dx?y??1()?==. ????()232dydydxy?dyy?y?(y?)dy代入原微分方程得 y???y?sinx. ( * ) (2) 方程( * )所对应的齐次方程y???y?0的通解为 22 Y?C1ex?C2e?x. 设方程( * )的特解为 y*?Acosx?Bsinx， 11*，故y??sinx，从而y???y?sinx的通解是 221*x?x y?Y?y?C1e?C2e?sinx. 23由y(0)?0,y?(0)?，得C1?1,C2??1. 故所求初值问题的解为 21x?xx. y?e?e?sin2代入方程( * )，求得A?0,B??【评注】 本题的核心是第一步方程变换。 八 、（本题满分12分） 设函数f(x)连续且恒大于零， ??? F(t)??(t)f(x2?y2?z2)dv2D(t)??f(x?y)d?2，G(t)?D(t)??f(x2?y2)d??t， ?1f(x)dx22222222其中?(t)?{(x,y,z)x?y?z?t}，D(t)?{(x,y)x?y?t}. (1) 讨论F(t)在区间(0,??)内的单调性. (2) 证明当t>0时，F(t)?2?G(t). 【分析】 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数 F?(t)的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即 可. 【详解】 (1) 因为 F(t)?2??0d??d??f(r2)r2sin?dr?t?202?00td??f(r)rdr0t2?2?f(r2)r2drt?0t， 0f(r)rdr2 F?(t)?2tf(t)?f(r2)r(t?r)dr[?f(r)rd]r00t22， 所以在(0,??)上F?(t)?0，故F(t) 在(0,??)内单调增加. （2） 因 G(t)???f(r2)rdrt?0t， 0f(r)dr 23 2要证明t>0时F(t)? 2?G(t)，只需证明t>0时，F(t)?t2t2?G(t)?0，即 ?t0f(r)rdr?f(r)dr?[?f(r2)rdr]2?0. 0022令 g(t)??t0f(r2)r2dr?f(r2)dr?[?f(r2)rd]r2， 002tt则 g?(t)?f(t)?t0f(r2)(t?r)2dr?0，故g(t)在(0,??)内单调增加. 因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0). 又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0, 因此，当t>0时，F(t)?2?G(t). 【评注】 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明： [?baf(x)g(x)dx]??f(x)dx??g2(x)dx， aa2b2b在上式中取f(x)为 f(r2)r，g(x)为f(r2)即可. 九 、（本题满分10分） ?322??010??????1**设矩阵A?232，P?101，B?PAP，求B+2E的特征值与特征向量，其中A为A ???????223???001??的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵. *,?1【分析】 可先求出A,P，进而确定B?PAP及B+2E，再按通常方法确定其特征值和特征向量； ?1*或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征向量，最终根据B+2E与A*+2E相似求出其特征值与特征向量. 【详解】 方法一： 经计算可得 ?5?2?2??01?1??????1 A*??25?2， P?100， ???????001????2?25??00??7???1* B?PAP=?25?4. ?????2?23??从而 00??9??， ?4 B?2E??27?????2?25??24 ??900?E?(B?2E)?2??74?(??9)2(??3)， 22??5故B+2E的特征值为?1??2?9,?3?3. 当?1??2?9时，解(9E?A)x?0，得线性无关的特征向量为 ??1???2 ????, ????1?12?0, ?????0????1??所以属于特征值?1??2?9的所有特征向量为 ? k??1??????2??1?1?k2?2?k11?k20，其中k1,k2是不全为零的任意常数???. ?0?????1??当?3?3时，解(3E?A)x?0，得线性无关的特征向量为 ?0? ???3??1??， ?1???所以属于特征值??3的所有特征向量为k?0???33?3?k31，其中k3?0为任意常数. ???1??方法二：设A的特征值为?，对应特征向量为?，即 A????. 由于A?7?0，所以??0. 又因 A*A?AE，故有 A*??A??. 于是有 B(P?1?)?P?1A*P(P?1?)?A?(P?1?)， (B?2E)P?1??(A??2)P?1?. 因此， A??2为B+2E的特征值，对应的特征向量为P?1?. ??3?2?2由于 ?E?A??2??3?2?(??1)2(??7)， ?2?2??3故A的特征值为?1??2?1,?3?7. 25