?的矩估计量为???14(3?X),根据给定的样本观察值计算x?18(3?1?3?0?3?1?2?3) ?2.因此?的矩估计值???14(3?x)?14. 对于给定的样本值似然函数为
L(?)?4?6(1??)2(1?2?)4,lnL(?)?ln4?6ln??2ln(1??)?4ln(1?2?), dlnL(?)62824?2?28d????1???1?2????6?(1??)(1?2?).
令
dlnL(?)7?d??0,得方程12?2?14??3?0,解得??1312(??7?13112?2,不合题意).
于是?的最大似然估计值为???7?1312. 11
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2003年硕士研究生入学考试（数学一）试题及答案解析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
1（1） lim(cosx)ln(1?x) =
x?0?21e .
g(x)【分析】 1型未定式，化为指数函数或利用公式limf(x)1(1?)=elim(f(x)?1)g(x)进行计算求极限均可.
【详解1】 lim(cosx)x?0ln(1?x)2=ex?0ln(1?x2)lim1lncosx,
?sinxlncosxlncosxcosx??1， ?lim?lim而 limx?0ln(x?02x21?x2)x?0x2故 原式=e?12?1e.
12x12??， 2x2【详解2】 因为 lim(cosx?1)?x?01?limln(1?x2)x?0?所以 原式=e?12?1e.
【评注】 本题属常规题型
（2） 曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是2x?4y?z?5.
【分析】 待求平面的法矢量为n?{2,4,?1}，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可
22根据曲面z?x?y切平面的法矢量与n?{2,4,?1}平行确定.
22??【详解】 令 F(x,y,z)?z?x?y，则
Fx???2x，Fy???2y， Fz??1.
设切点坐标为(x0,y0,z0)，则切平面的法矢量为 {?2x0,?2y0,1}，其与已知平面2x?4y?z?0平行，因此有
?2x0?2y01??， 24?122可解得 x0?1,y0?2，相应地有 z0?x0?y0?5.
故所求的切平面方程为
2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0，即 2x?4y?z?5.
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【评注】 本题属基本题型。
（3） 设x?2?an?0?ncosnx(???x??)，则a2= 1 .
【分析】 将f(x)?x(???x??)展开为余弦级数x?为an?22?an?0?ncosnx(???x??)，其系数计算公式
2???0f(x)cosnxdx.
2?【详解】 根据余弦级数的定义，有 a2? = =
?1??02x2?cos2xdx??01???0x2dsin2x
?1[xsin2x?0??sin2x?2xdx]
0??xdcos2x?1?[xcos2x?0??cos2xdx]
0? =1.
【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算. （4）从R的基?1???0??,?2????1??到基?1???1??,?2???2??的过渡矩阵为???1?2?? .
??????????【分析】 n维向量空间中，从基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过渡矩阵P满足 [?1,?2,?,?n]=[?1,?2,?,?n]P，因此过渡矩阵P为：P=[?1,?2,?,?n]?1[?1,?2,?,?n].
2?1??1??1??1??23??1??1??1??1?【详解】根据定义，从R的基?1???0??,?2????1??到基?1???1??,?2???2??的过渡矩阵为
????????2?11??11??1P=[?1,?2][?1,?2]????12?.
0?1?????13??11??11??2 =???12????1?2?.
0?1??????【评注】 本题属基本题型。
（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)???6x,0?x?y?1,
其他，?0,则P{X?Y?1}?
1 . 4【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率P{g(X,Y)?z0}，一般可转化为二重积分P{g(X,Y)?z0}=
【详解】 由题设，有
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g(x,y)?z0??f(x,y)dxdy进行计算.
P{X?Y?1}?x?y?1120??f(x,y)dxdy??dx?1201?xx6xdy
=
?1(6x?12x2)dx?.
4 y
1 D
O
【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式x?y?1的公共部分D，再在其上积分即可. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.14第一大题第（5）小题.
（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布N(?,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的
1 1 x 2,40.49) . 平均值为40 (cm)，则?的置信度为0.95的置信区间是(39.51,?(1.645)?0.95.) (注：标准正态分布函数值?(1.96)?0.975【分析】 已知方差?2?1，对正态总体的数学期望?进行估计，可根据
X??~N(0,1)，由1nP{X???u?}?1??确定临界值u?，进而确定相应的置信区间. 122n1???0.95，【详解】 由题设，可见??0.05. 于是查标准正态分布表知u??1.96.本题n=16, x?40,
2因此，根据 P{X???1.96}?0.95，有 1nP{40???1.96}?0.95，即 P{39.51,40.49}?0.95，故?的置信度为0.95的置信区间是
116(39.51,40.49) .
【评注】 本题属基本题型.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，
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