2015年全国初中数学竞赛试题
班级 姓名 成绩 供稿人：李锦扬
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
2a3?6a2?a3?1?（ ） 1．已知a?，则
2a2?12A．?3 B．3 C．?3?2 D．3?2
2．将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子内，每个盒子放2个球。则编号为1，2的小球放入同一个盒子内的概率为（ ）
A．
3．已知圆O是边长为63的正三角形ABC的内切圆，圆O1圆O外切，且与△ABC的CA边、CB边相切，则圆O1的面积为（ ）
A．? B．2? C．3? D．4?
2123 B． C． D． 15555CA、AB4．如图，P为等腰三角形ABC内一点，过P分别作三条边BC、
的垂线，垂足分别为D、E、F。已知AB?AC?10，BC?12，且
PD∶PE∶PF?1∶∶33。则四边形PDCE的面积为（ ）
A．10 B．15 C．
5．记S(n)为非负整数n的各个数位上的数字之和，如S(0)?0，S(1)?1，
4050 D． 33S(1995)?1?9?9?5?24。则S(1)?S(2)?S(3)?L?S(2015)?（ ）
A．28097 B．28098 C．28077 D．28087
1
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．已知直线y?2x?3与抛物线y?2x2?3x?1交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则
11?? 。 x1?1x2?1
F分别在边BC、CD上，EF7．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、且?EAF?45?。则△C的周长为 。
8．若1?x?3时，二次函数y?2x2?3ax?4的最小值为?23，则a? 。
9．已知正整数p，q满足
2??x???2x???x?，???10．?x?表示不超过x的最大整数，则满足条件?的x的取值范围5?x??2（第7题 图）
q)的个数是 。 p?3q?2016，则整数对(p，为 。
2
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
11．如图，二次函数y?mx2?nx?p的图像过A、B、C三点，其中C(?1，?1)，点A、B在x轴上（A在点O左侧，B在点O右侧），且sin?BAC?（1）求二次函数的解析式； （2）求△ABC外接圆的半径。
12．已知关于x的方程x?44x?n?n?20?0有有理数根，求正整数n的值。
3
22525，sin?ABC?。
55（第11题 图）
13．如图，△ABC是等腰直角三角形，CA?CB，点N在线段AB上（与A、B不重合），点M在
222射线BA上，且?NCM?45?。求证：MN?AM?BN。
14．在0与21之间插入n个正整数a1，a2，…，an，使其满足0?a1?a2?L?an?21。若1，2，3，…，21这21个正整数都可以表示为0，a1，a2，…，an，21这n?2个数中某两个数的差。求n的最小值。
4
（第13题）
2015年福建省初中数学竞赛试题参考答案
考试时间 2015年3月15日 9∶00－11∶00 满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
2a3?6a2?a3?1?（ ） 1．已知a?，则
2a2?12A．?3 B．3 C．?3?2 D．3?2 【答案】 A 【解答】 由a?3?1，知2a?3?1，2a?1?3，4a2?4a?1?3，2a2?1?2a。 22a3?6a2?a2a3?6a2?a11?2a12???a?3a????3a?∴
2a2?1?2a222??2a?1??(3?1)?1??3。
2．将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子内，每个盒子放2个球。则编号为1，2的小球放入同一个盒子内的概率为（ ）
A．
2123 B． C． D． 15555【答案】 B
【解答】 将6个小球分成3堆，每堆2球，共有下列15种不同的分堆方法（堆与堆之
2)，(3，4)，(5，6)；(1，2)，(3，5)，(4，2)，(3，6)，(4，5)； 6)；(1，间不考虑顺序）：(1，(1，3)，(2，6)；(1，3)，(2，5)，(4，3)，(2，5)； 4)，(5，6)；(1，6)，(4，(1，4)，(2，3)，(5，6)；(1，4)，(2，5)，(3，6)；(1，4)，(2，5)； 6)，(3，(1，5)，(2，3)，(4，5)，(2，6)；(1，5)，(2，4)； 6)；(1，4)，(3，6)，(3，(1，6)，(2，3)，(4，5)；(1，6)，(2，5)；(1，6)，(2，5)，(3，4)。 4)，(3，其中，编号为1，2的小球分在同一堆的情形有3种。 ∴ 编号为1，2的小球放在同一个盒子内的概率为
31?。 1553．已知圆O是边长为63的正三角形ABC的内切圆，圆O1圆O外切，且与△ABC的CA边、CB边相切，则圆O1的面积为（ ）
A．? B．2? C．3? D．4? 【答案】 A
5