12．已知关于x的方程x2?44x?n2?n?20?0有有理数根，求正整数n的值。 【解答】∵ 关于x的方程x2?44x?n2?n?20?0有有理数根，且n为正整数， ∴ △?442?4(?n2?n?20)?4n2?4n?2016为完全平方数 …………… 5分 设4n2?4n?2016?k2（k为正整数），
则(2n?1)2?2015?k2，k2?(2n?1)2?2015?5?13?31。
∴ (k?2n?1)(k?2n?1)?2015?5?13?31。 …………… 10分 ∵ k?2n?1为正整数，k?2n?1为整数，且k?2n?1?k?2n?1，
?k?2n?1?2015?k?2n?1?403?k?2n?1?155?k?2n?1?65∴ ?，或?，或?，或?。
k?2n?1?1k?2n?1?5k?2n?1?13k?2n?1?31???? ……………………… 15分
?k?1008?k?204?k?84?k?48解得，?，或?，或?，或?。
n?503n?8n?99n?35????∴ 正整数n的值为503或99或35或8。 ………………… 20分 注：n?503时，方程化为x2?44x?253532?0，即(x?482)(x?526)?0。
n?99时，方程化为x2?44x?9920?0，即(x?80)(x?124)?0。 n?35时，方程化为x2?44x?1280?0，即(x?20)(x?64)?0。 n?8时，方程化为x2?44x?92?0，即(x?2)(x?46)?0。
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13．如图，△ABC是等腰直角三角形，CA?CB，点N在线段AB上（与A、B不重合），点M在射线BA上，且?NCM?45?。求证：MN2?AM2?BN2。
【答案】如图，作点A关于直线MC的对称点D，连结DA、DM、DC，DN，则△MDC≌△MAC。
∵ △ABC是等腰直角三角形，CA?CB，且
?NCM?45?，
（第13题）
∴ ?DCN??DCM??MCA??ACN??DCM?45?，
（第13题答题图）
?BCN??BCA??NCA?90??(45???MCA)?45???MCA?45???DCM。 N ……………………………… 5分 ∴ ?DCN??BC。
又CD?CA?CB，CN?CN。
≌△BC。N …………………… 10分 ∴ △DCN∴ ND?NB，?CDN??CBN?45?。 又由△MDC≌△MAC，知
?CDM??CAM?180???CAB?180??45??135?。
??ND1C?35?4?5?9?0 ?∴ ?MDN??MDC。 …………………… 15分
∴ MD?DN。 又MD?MA，
22?DN?∴ MN2?DM2AM?2BN。 …………………… 20分
另解：如图，△CBN沿CN翻折得△CDN，则△DCN≌△BCN。
?∴ CD?CBCADN?BN，?CDN??CBN?45?，?DCN??BCN。 …… 5分 ，
∵ ?NCM?45?，
??MCN??B4C5?N∴ ?DCM??DCN9?0????AC4 5N???45???ACN??ACM。 ………………… 10分
又CD?CA，CM?CM。
≌△AC。M …………………… 15分 ∴ △DCM∴ MA?MD，?CDM??CAM?135?，?MDN??CDM??NDC?90?。
22?DN?∴ MN2?DM2AM?2BN。 …………………… 20分
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14．在0与21之间插入n个正整数a1，a2，…，an，使其满足0?a1?a2?L?an?21。若1，2，3，…，21这21个正整数都可以表示为0，a1，a2，…，an，21这n?2个数中某两个数的差。求n的最小值。
【解答】 ∵ n?2个数至多可以表示(n?1)?n?(n?1)?L?2?1?且为正数的差。
∴ 依题意有，
(n?1)(n?2)?21，即(n?5)(n?8)?0。
2(n?1)(n?2)个不同的2∴ n?5。 …………… 5分 下面证明n?5不符合要求。 若n?5符合要求，则由n?5时，
(n?1)(n?2)?21知，由0，a1，a2，a3，a4，a5，21
2这7个数两两之差（大数减去小数）所得的下列21个数：a1，a2，a3，a4，a5，21，a2?a1，
a3?a1，a4?a1，a5?a1，21?a1，a3?a2，a4?a2，a5?a2，21?a2，a4?a3，a5?a3，21?a3，
a5?a4，21?a4，21?a5互不相同。于是它们是1，2，3，…，21的一个排列。……… 10分
记这21个数的和为S，则
S?(a1?5a1)?(2a2?4a2)?(3a3?3a3)?(4a4?2a4)?(5a5?a5)?6?21??4a1?2a2?2a4?4a5?6?21。可见S为偶数。
另一方面，S?1?2?3?L?21?21?22?231为奇数，与S为偶数矛盾。 2∴ n?5不符合要求。 …………………… 15分
n?6符合要求。如插入2，5，8，12，19，20。（不唯一）
可以验证：用0，2，5，8，12，19，20，21这8个数中某两个数的差可以表示1，2，3，…，21中任意一个数。
2?21?19，3?8?5，4?12?8，5?5?0，6?8?2，7?19?12，8?20?12，（1?21?20，
9?21?12，10?12?2，11?19?8，12?20?8，13?21?8，14?19?5，15?20?5，16?21?5，17?19?2，18?20?2，19?19?0，20?20?0，21?21?0。）
可见n的最小值为6。 …………………… 20分
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