(2) 已知横坐标分别为?1、1、5的三点M、
N、P都在函数f(x)的图像上，求
sin?MNP的值．
解：（1）由图可知，A?1 ， ?????????????????????1分
最小正周期T?4?2?8,
π. ?????????????3分
?4πππ又f(1)?sin(??)?1 ，且????
422ππ3ππππ所以?????，???,??. ???????5分
444424π 所以f(x)?sin(x?1)． ????????6分
4ππ(2) 解法一: 因为f(?1)?sin(?1?1)?0,f(1)?sin(1?1)?1,
44πf(5)?sin(5?1)??1，
4所以T?2π?8,??所以M(?1,0),N(1,1),P(5,?1)， ??????????????????8分
MN?5,MP?37,PN?20，
从而cos?MNP?5?20?373??， ??????????????????10分
525?204. ???????12分 52由?MNP??0,π?，得sin?MNP?1?cos?MNP?解法二: 因为f(?1)?sinππ(?1?1)?0,f(1)?sin(1?1)?1, 44πf(5)?sin(5?1)??1，
4所以M(?1,0),N(1,1),P(5,?1)， ??????????????????8分
??????????????????NM?(?2,?1),NP?(4,?2),NM?NP??6,
?????????NM?5,NP?20?25, ?????????NM?NP?63??. ?????????10分 则cos?MNP???????????55?25NM?NP2由?MNP??0,π?，得sin?MNP?1?cos?MNP?4. ?????12分 5【说明】 本小题主要考查了三角函数f(x)?Asin(?x??)的图象与性质，以及余弦定理，同角三角
函数关系式，平面向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力． 17．（本小题满分13分）
随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民在20:00?22:00时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表： 性别 休闲方式 看电视 看书 合计 男 女 合计 10 10 20 50 10 60 60 20 80 （1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和期望；
（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20:00?22:00时间段的休闲方式与性别有关系”？
n(ad?bc)2参考公式：K? ，其中n?a?b?c?d．
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2参考数据： P(K2?k0) 0.15 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 k0 为p?
2.072 解：（1）依题意，随机变量X的取值为：0,1,2,3，且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率5
． ????????????????2分 6
150131125方法一：P(X?0)?C3()?，P(X?1)?C3()()?，
62166672 1525125353P(X?2)?C32()()2?，P(X?3)?C3()?． ?????6分
66726216? X的分布列为: 0 1 2 3 X5125125P72 216 72 216 15251255?EX?0??1??2??3??． ???????????8分
216727221625方法二：根据题意可得X~B(3,)， ??????????????4分
615?P(X?k)?C3k()3?k()k，k?0,1,2,3． ??????????????6分
6655 ?EX?np?3??． ????????????????8分
62
(2) 提出假设H0：休闲方式与性别无关系．
根据样本提供的2?2列联表得
n(ad?bc)280?(10?10?10?50)280k????8.889?6.635．
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)60?20?20?6092因为当H0成立时，K?6.635的概率约为0.01，所以我们有99%的把握认为“在20:00?22:00时间段性别与休闲方式有关”． ?????????13分
【说明】本题主要考察读图表、随机事件的概率、二项分布以及数学期望、独立性检验等基础知识，
考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识． 18．（本小题满分13分）
如图，平行四边形ABCD中，AB?BD，AB?2，BD?2，沿BD将?BCD折起，使二面角
A?BD?C是大小为锐角?的二面角，设C在平面ABD上的射影为O． （1）当?为何值时，三棱锥C?OAD的体积最大？最大值为多少？
C （2）当AD?BC时，求?的大小．
A
D
C
O B
A B D
解：（1）由题知OD为CD在平面ABD上的射影， ∵BD?CD，CO?平面ABD，∴BD?OD，
∴?ODC??， ?????????2分
111VC?AOD?S?AOD?OC???OD?BD?OC
33222??OD?OC??CD?sin??CD?cos? ??????4分 6622， ????????5分 ??sin2?≤33当且仅当sin2??1，即??45?时取等号，
∴当??45?时，三棱锥O?ACD的体积最大，最大值为(2)(法一)连接OB， ????????7分 ∵CO?平面ABD，AD?BC， ∴AD?平面BOC，
∴AD?OB， ?????????9分 ∴?OBD??ADB?90?， 故?OBD??DAB，
∴Rt?ABD∽Rt?BDO， ??????11分 ∴
2． ????6分 3C
O ODBD?， BDAB22BD(2)∴OD???1， ???????????????????12分
AB2z OD1?，得??60?．???????13分 在Rt?COD中，cos??CD2(法二) 过O作OE?AB于E，则OEBD为矩形， 以O为原点，OE，OD，OC所在直线分别为x轴、 y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
O C A
B
D y A x E B 则O(0,0,0),D(0,2cos?,0),A(2,2cos??2,0)，
B(2,2cos?,0),C(0,0,2sin?)， ???9分
于是AD?(?2,2,0)，BC?(?2,?2cos?,2sin?)， ?????10分 由AD?BC，得AD?BC?0，
∴(?2)?(?2)?2?(?2cos?)?0?2sin??0， ????????12分 得cos??1，又?为锐角，∴??60? ． ????????????13分 2【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，棱锥的体积、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力． 19．（本小题满分14分）
x2y23如图，已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：
ab2(x?2)2?y2?r2(r?0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N．
（1）求椭圆C的方程；
????????（2）求TM?TN的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点，且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S，O为坐标原
y点，求证：OR?OS为定值．
MP解：（1）依题意，得a?2，e?c3， R?a2TNSOx?c?3,b?a2?c2?1；
x2?y2?1 ． ???????????????3分 故椭圆C的方程为4（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M(x1,y1)，N(x1,?y1)， 不妨设y1?0．
x由于点M在椭圆C上，所以y1?1?1． （*） ????????4分
422由已知T(?2,0)，则TM?(x1?2,y1)，TN?(x1?2,?y1)，
x52?TM?TN?(x1?2,y1)?(x1?2,?y1)?(x1?2)?y1 ?(x1?2)?(1?1)?x1?4x1?3
442222581(x1?)2?． ??????????????6分 455????????81由于?2?x1?2，故当x1??时，TM?TN取得最小值为?．
55383132由（*）式，y1?，故M(?,)，又点M在圆T上，代入圆的方程得到r?．
555251322故圆T的方程为：(x?2)?y?． ????????8分
25?方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M(2cos?,sin?),N(2cos?,?sin?)， 不妨设sin??0，由已知T(?2,0)，则
2s?2)2?sin??5co2s??8co?s?3 TM?TN?(2cos??2,sin?)?(2cos??2,?sin?) ?(2co?41?5(cos??)2?． ????????????????????6分
55????????4183故当cos???时，TM?TN取得最小值为?，此时M(?,)，
5555132又点M在圆T上，代入圆的方程得到r?．
251322故圆T的方程为：(x?2)?y?． ????????8分
25(3) 方法一：设P(x0,y0)，则直线MP的方程为：y?y0?y0?y1(x?x0)，
x0?x1令y?0，得xR?22x1y0?x0y1xy?x0y1， 同理：xS?10， ????????10分
y0?y1y0?y122故xR?xS?x1y0?x0y1y0?y122 （**） ????????11分
2222又点M与点P在椭圆上，故x0?4(1?y0)，x1?4(1?y1)，????????12分 代入（**）式，得： xR?xS?4(1?y1)y0?4(1?y0)y1y0?y1222222?4(y0?y1)y0?y12222?4．
所以OR?OS?xR?xS?xR?xS?4为定值． ????????14分 方法二：设M(2co?s??0，P(2cos?,sin?)，其中,?sinN),?(2?co?s，,不妨设sin