sin???sin?．则直线MP的方程为：y?sin??令y?0，得xR?sin??sin?(x?2cos?)，
2cos??2cos?2(sin?cos??cos?sin?)，
sin??sin?2(sin?cos??cos?sin?)同理：xS?， ??????????12分
sin??sin?4(sin2?cos2??cos2?sin2?)4(sin2??sin2?)??4． 故xR?xS?2222sin??sin?sin??sin?所以OR?OS?xR?xS?xR?xS?4为定值． ????????14分 【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、圆的方程、向量、圆与椭圆的位置关系、直
线方程等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数 形结合思想、化归与转化思想． 20．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?13x?bx2?cx?d，设曲线y?f(x)在与x轴交点处的切线为y?4x?12，3f?(x)为f(x)的导函数，满足f?(2?x)?f?(x)．
（1）求f(x)；
（2）设g(x)?xf?(x)，m?0，求函数g(x)在[0,m]上的最大值；
（3）设h(x)?lnf?(x)，若对一切x?[0,1]，不等式h(x?1?t)?h(2x?2)恒成立，求实数t的取值范围．
解：（1）f?(x)?x2?2bx?c， ????????????1分
?f?(2?x)?f?(x)，?函数y?f?(x)的图像关于直线x?1对称，则b??1．??2分 ?直线y?4x?12与x轴的交点为(3,0)，
?f(3)?0，且f?(3)?4，即9?9b?3c?d?0，且9?6b?c?4，
解得c?1，d??3． ????????4分
y21?113x?x2?x?3． ????????5分 322（2）f?(x)?x?2x?1?(x?1)，
则f(x)???x?x,x?1,g(x)?x(x?1)2?xx?1?? ????7分 2??x?x,x?1.其图像如图所示．
2当x?x?2O 11?222x11?2时，x?，根据图像得： 42（ⅰ）当0?m?1时，g(x)最大值为m?m2； 2（ⅱ）当
111?2时，g(x)最大值为； ?m?422（ⅲ）当m?1?2时，g(x)最大值为m2?m． ?????????????10分 22（3）方法一：h(x)?ln(x?1)?2lnx?1，
h(x?1?t)?2lnx?t，h(2x?2)?2ln2x?1，
?当x?[0,1]时，2x?1?2x?1，
?不等式2lnx?t?2ln2x?1恒成立等价于x?t?2x?1且x?t恒成立，
由x?t?2x?1恒成立，得?x?1?t?3x?1恒成立，
?当x?[0,1]时，3x?1?[1,4]，?x?1?[?2,?1]，
??1?t?1， ?????????????????12分
又?当x?[0,1]时，由x?t恒成立，得t?[0,1]，
因此，实数t的取值范围是?1?t?0． ?????????????14分 方法二：（数形结合法）作出函数y?2x?1,x?[0,1]的图像，其图像为线段AB（如图），
y?y?x?t的图像过点A时，t??1或t?1， ?要使不等式x?t?2x?1对x?[0,1]恒成立，
必须?1?t?1， ?????????????12分 又?当函数h(x?1?t)有意义时，x?t，
4B32A1?2?1O 1234x?当x?[0,1]时，由x?t恒成立，得t?[0,1]，
因此，实数t的取值范围是?1?t?0． ?????????????14分 方法三：?h(x)?ln(x?1)， h(x)的定义域是{xx?1}，
2?要使h(x?1?t)恒有意义，必须t?x恒成立，
?x?[0,1]，?t?[0,1]，即t?0或t?1． ??????① ???????12分
由h(x?1?t)?h(2x?2)得(x?t)?(2x?1)，
22即3x2?(4?2t)x?1?t2?0对x?[0,1]恒成立， 令?(x)?3x2?(4?2t)x?1?t2，?(x)的对称轴为x??2?t， 32?t??2?t?2?t?1,?0,?0???1,????则有?或?或? 333???(4?2t)2?4?3?(1?t2)?0????(1)?0??(0)?0?解得?1?t?1． ??????②
综合①、②，实数t的取值范围是?1?t?0． ?????????????14分
【说明】本题主要考查函数导数运算法则、导数的几何意义、二次函数和分段函数的图像及其性质的运用、不等式的求解与证明等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识． 21．（本小题满分14分）
已知数列{an}满足：a1?a1,n?N*（其中e为自然对数的底数），an?1?nn．
2ean?e2n， Tn?e?n． n?1（1）求数列{an}的通项an；
（2）设Sn?a1?a2???an，Tn?a1?a2?a3???an，求证：Sn?解：（1）?an?1?an，
enan?e1e11???en，即n?n?1?1． ?????????????3分 an?1anean?1ean11令bn?n?1，则bn?1?bn?1，b1??2，
eana1因此，数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列．
bn?2?(n?1)?1?n?1， ?????????????5分
11． ?????????????6分 ?an??n?1n?1bne(n?1)e*n?1（2）（方法一）先证明当n?N时，e?n．
x?1x?1设f(x)?e?x,x?[1,??)，则f?(x)?e?1， ?当x?1时，f?(x)?0，
?f(x)在(1,??)上是增函数，则当x?1时，f(x)?f（1）?0，即ex?1?x．???8分
1111*n?1???因此，当n?N时，e?n，an?， ????9分 n?1(n?1)e(n?1)nnn?111*n??e?(2n?1)． ???????10分 当n?N时，n?1?e，an?n?1nn?1(n?1)ee?e111111n?Sn?a1?a2???an?(1?)?(?)???(?)?1??．
223nn?1n?1n?1??????????12分
（2n?1)]?Tn?a1?a2?a3???an?e?1?e?3?e?5???e?(2n?1)?e?[1?3?5????e?n．
2?????????14分
（方法二）数学归纳法证明
1n1nn?1?S?当时，成立； ?n，，
2n?12n?1211?T1?a1?，e?n?，
2e11??， ?e?2又，
2e?n2n?1时，Tn?e成立． ?????????????????8分 ?当
k?k2（2）设n?k时命题成立，即Sk?T?e，k，
k?1k1n?k?1S?S?a??当时，k?1， kk?1k?1(k?2)ekk?1k1k?1要证Sk?1???， 即证，
k?2k?1(k?2)ekk?2k化简，即证e?k?1． ??????????9分 设f(x)?ex?x?1,x?（0,??)，则f?(x)?ex?1， ?当x?0时，f?(x)?0，
?f(x)在(0,??)上是增函数，则当x?0时，f(x)?f（0）?0，即ex?x?1．
nk因此，不等式e?k?1成立，即当n?k?1时Sn?成立． ???????11分
n?1（1）?S1?a1??k当n?k?1时，Tk?1?Tk?ak?1?e221e?k?k??， k(k?2)ek?22?k?k2e要证Tk?1?e?e?(k?1)， ， 即证
k?2k?1化简，即证e?k?2．
2k?1根据前面的证明，不等式e?k?2成立，则n?k?1时Tn?e?n成立．
2n*由数学归纳法可知，当n?N时，不等式Sn?，Tn?e?n成立．?????14分
n?1
?(k?1)2【说明】考查了数列的递推公式的处理、等差数列的通项公式、数学归纳法等知识，考查学生的构造数列和函数解决问题的意识，考查了学生变形的能力，化归与转化的思想以及创新意识．