专题06 函数的奇偶性与周期性
1.判断函数的奇偶性； 2.利用函数的奇偶性求参数；
3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．
一、函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定 义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝ 图象特点 关于y轴对称 f(x)，那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－奇函数 二、周期性
f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋
T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
高频考点一 判断函数的奇偶性 例1、判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝3－x＋x－3； lg（1－x）
(2)f(x)＝；
|x－2|－2
??x＋x，x<0，
(3)f(x)＝?2
?－x＋x，x>0.?
2
22
2
- 1 -
??3－x≥0，2
解 (1)由?2得x＝3，解得x＝±3，
?x－3≥0，?
2
即函数f(x)的定义域为{－3，3}， 从而f(x)＝3－x＋x－3＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
22
则f(－x)＝－(－x)－x＝－x－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)－x＝x－x＝－f(x)；
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数． 【方法规律】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．
在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或
2
2
2
2
f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
【变式探究】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A．y＝x＋sin 2x 1xC．y＝2＋x 2
B．y＝x－cos x
2
2
D．y＝x＋sin x
(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确
- 2 -
的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
【解析】 (1)对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)－cos(－x)＝x－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2＋数也不是奇函数，故选D.
(2)依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－
－x2
2
11x2
x既不是偶函－x＝2＋x＝f(x)，为偶函数；y＝x＋sin
22
f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)
＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；
|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错． 【答案】 (1)D (2)C 高频考点二 函数的周期性
例2、(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)等于________． (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－则f(105.5)＝______. 【答案】 (1)337 (2)2.5
1
，当2≤x≤3时，f(x)＝x，
- 3 -
2016＝1×＝336.
6又f(2017)＝f(1)＝1.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)＝337. (2)由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2] ＝－1＋
＝－
－
11
＝f(x)．
故函数的周期为4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5. ∴f(105.5)＝2.5.
【感悟提升】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． (2)函数周期性的三个常用结论： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a， ②若f(x＋a)＝
11
，则T＝2a， ，则T＝2a (a>0)．
③若f(x＋a)＝－
f
【变式探究】 设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f?
?23π?＝__________________________________________.
??6?
1
【答案】 2
高频考点三 函数性质的综合应用
例3、(1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x＋x＋1，则f(1)＋g(1)等于( ) A．－3
3
2
B．－1 C．1 D．3
- 4 -
(2)(若函数f(x)＝xln(x＋a＋x)为偶函数，则a＝________．
【解析】 (1)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)＋(－1)＋1＝1.
(2)f(x)为偶函数，则ln(x＋a＋x)为奇函数， 所以ln(x＋a＋x)＋ln(－x＋a＋x)＝0， 则ln(a＋x－x)＝0，∴a＝1. 【答案】 (1)C (2)1
【方法规律】(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值． (2)已知函数的奇偶性求函数值或【解析】式，首先抓住在已知区间上的【解析】式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的【解析】式或函数值．
2＋1
【变式探究】(1)若函数f(x)＝x是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
2－aA．(－∞，－1)
B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，＋∞)
2
2
2
2223
2
2
x(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x－4x，则f(x)＝________． 2＋12＋1
【解析】 (1)易知f(－x)＝－x＝x，
2－a1－a22＋12＋1
由f(－x)＝－f(x)，得， x＝－x1－a22－axx－xx
x－4x，x>0，??
∴f(x)＝?0，x＝0，
??－x2－4x，x<0.
2
- 5 -