2018年高考数学一轮复习专题06函数的奇偶性与周期性教学案文(3)

?x1?4．已知函数f(x)＝x?e－x?，若f(x1)

e??

A．x1>x2

B．x1＋x2＝0

C．x1

2

2

?1x?【解析】 ∵f(－x)＝－x?x－e?＝f(x)． ?e?

∴f(x)在R上为偶函数，

1

e

f′(x)＝ex－x＋x?e＋x?，

e

??

x1??

∴x>0时，f′(x)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数， 由f(x1)

5．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为( ) A．2 B．1 C．－1

D．－2

2

2

【答案】 A

2a－3

6．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取

a＋1值范围为( )

A．(－1，4) B．(－2，0) C．(－1，0) D．(－1，2) 【解析】 ∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数， ∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)， 2a－3

∵f(1)<1，f(5)＝，

a＋1∴

2a－3a－4

<1，即<0， a＋1a＋1

解得－1

- 11 -

7．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 015)＋f(2 016)＝( ) A．0 B．2 C．3 D．4

【答案】 B

8．若f(x)＝ln(e＋1)＋ax是偶函数，则a＝________． 【解析】 由于f(－x)＝f(x)， ∴ln(e

－3x3x＋1)－ax＝ln(e＋1)＋ax，

3x化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋3＝0， 3∴a＝－.

23

【答案】 －

2

9．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的【解析】式为f(x)＝

??x（1－x），0≤x≤1，? ?sin πx，1

29??41??则f??＋f??＝________．

?4??6?

【解析】 由于函数f(x)是周期为4的奇函数，

3π5?29??41??3??7??3??7?所以f??＋f??＝f?－?＋f?－?＝－f??－f??＝－＋sin ＝. 16616?4??6??4??6??4??6?【答案】

5

16

?1?10．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f??＝0，则满足f(x)>0的x的集?2?

合为________．

?1?【解析】 由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f??＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)?2?

- 12 -

?1?上递增，且f?－?＝0， ?2?

11

∴f(x)>0时，x>或－

22

??11?

【答案】 ?x?－?

2???2

11．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x. (1)判定f(x)的奇偶性；

(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．

?－x2

＋2x，x>0，12．已知函数f(x)＝?

?0，x＝0，是奇函数．

??x2＋mx，x<0(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解 (1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)2

＋2(－x)＝－x2

－2x.

- 13 -

又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)． 于是x<0时，f(x)＝x＋2x＝x＋mx， 所以m＝2.

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，

??a－2>－1，

结合f(x)的图象知?所以1

?a－2≤1，?

2

2

故实数a的取值范围是(1，3]．

13．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________． 【解析】 因为当0≤x<2时，f(x)＝x－x.

又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0， 则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0. 又f(1)＝0，

∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，

故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个． 【答案】 7

14．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值；

(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．

3

3

- 14 -

又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示．

?1?当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×?×2×1?＝4.

?2?

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