x－4x，x>0，??
【答案】 (1)C (2)?0，x＝0，
??－x2－4x，x<0
考点四 函数的周期性及其应用
例4、 (2016·四川卷)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0 2 ?5?x4，则f?－?＋f(2)＝________． ?2? 【解析】 ∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0， 又f(x)在R上的周期为2， ∴f(2)＝f(0)＝0. 1?5??1??1?又f?－?＝f?－?＝－f??＝－4＝－2， 2?2??2??2? ?5?∴f?－?＋f(2)＝－2. ?2? 【答案】 －2 【方法规律】(1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或【解析】式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间． (2)若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期． 【变式探究】 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝－＝x，则f(105.5)＝______． 【解析】 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－故函数的周期为4. ∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5. ∴f(105.5)＝2.5. 【答案】 2.5 1 ＝f(x)． f（x＋2） 1 ，当2≤x≤3时，f(x)f（x） 1.【2016年高考四川理数】已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时， - 6 - f(x)?4，则f(?x52)?f(1)= . 【答案】-2 2.【2016高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)?x?1 ；当?1?x?1 时，f(?x)??f(x)；当x?（A）?2 【答案】D 【解析】当x?12312 时，f(x? 12)?f(x?12) .则f(6)= （ ） （B）?1 （C）0 （D）2 时，f(x?12)?f(x?12),所以当x?12时，函数f(x)是周期为的周期函 3数，所以f(6)?f(1)，又函数f(x)是奇函数，所以f(1)??f(?1)?????1??1??2，故 ??选D. 【2015高考福建，理2】下列函数为奇函数的是( ) A．y?x B．y?sinx C．y?cosx D．y?e?ex?x 【答案】D 【解析】函数y?函数，故选D． 【2015高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A．y?x?e B．y?x?【答案】A． x?1【解析】记f?x??x?e，则f?1??1?e，f??1???1?e，那么f??1??f?1?， x是非奇非偶函数；y?sinx和y?cosx是偶函数；y?e?ex?x是奇 x1x C．y?2?x12x D．y?1?x2 f??1???f?1?x，所以y?x?e既不是奇函数也不是偶函数，依题可知B、C、D依次是奇 函数、偶函数、偶函数，故选A． 【2015高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） - 7 - 2（A）y?cosx （B）y?sinx （C）y?lnx （D）y?x?1 【答案】A 【2015高考新课标1，理13】若函数f(x)=xln(x?【答案】1 【解析】由题知 22a?x)为偶函数，则a= 2y?ln(x?a?x)2是奇函数，所以 ln(x?a?x)?ln(?x?2a?x)2 = ln(a?x?x)?lna?0，解得=1. 2 ??x＋1，x>0， （2014·福建卷） 已知函数f(x)＝?则下列结论正确的是( ) ?cos x， x≤0，? A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞) 【答案】D 【解析】由函数f(x)的【解析】式知，f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数； 当x>0时，令f(x)＝x＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f(x)>1； 当x≤0时，f(x)＝cos x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x)∈[－1，1]； ∴函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)． （2014·湖南卷）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x＋x＋1，则f(1)＋g(1)＝( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】C 2 3 2 （2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶 - 8 - 函数，则下列结论中正确的是( ) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 【答案】C 【解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C. （2014·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________． 【答案】(－1，3) 【解析】根据偶函数的性质，易知f(x)>0的解集为(－2，2)，若f(x－1)>0，则－2 （2013·广东卷）定义域为R的四个函数y＝x，y＝2，y＝x＋1，y＝2 sin x中，奇函数的个数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】函数y＝x，y＝2sin x是奇函数． （2013·江苏卷）已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________． 【答案】(－5，0)∪(5，＋∞) 【解析】设x<0，则－x>0.因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x＋4x)． 又f(0)＝0，于是不等式f(x)>x等价于 ???x≥0，?x<0，?2或? 2?x－4x>x??－（x＋4x）>x.? 2 2 3 3 x 2 解得x>5或－5 故不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)． 12 （2013·山东卷）已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x＋，则f(－1)＝( ) xA．－2 B．0 C．1 D．2 - 9 - 【答案】A ?21?【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－?1＋?＝－2. 1?? （2013·四川卷） 已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________． 【答案】(－7，3) 2 1．在函数y＝xcos x，y＝e＋x，y＝lgx－2，y＝xsin x中，偶函数的个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0 【解析】 y＝xcos x为奇函数，y＝e＋x为非奇非偶函数，y＝lgx－2与y＝xsin x为偶函数． 【答案】 B 2．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( ) A．奇函数，且在(0，1)内是增函数 B．奇函数，且在(0，1)内是减函数 C．偶函数，且在(0，1)内是增函数 D．偶函数，且在(0，1)内是减函数 【解析】 易知f(x)的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，则y＝f(x)为奇函数， 又y＝ln(1＋x)与y＝－ln(1－x)在(0，1)上是增函数， 所以f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)在(0，1)上是增函数． 【答案】 A 3．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x＋ax，且f(3)＝6，则a的值为( ) A．5 B．1 C．－1 D．－3 2 x22x22 【解析】 ∵y＝f(x)是奇函数，且f(3)＝6.∴f(－3)＝－6，则9－3a＝－6，解得a＝5. 【答案】 A - 10 -