高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分
AkAk?1?{co?sk,sin?k}?sk(k?0? 1? 2? ? ? ?? n?1)? 显然? 变力F(x? y)沿有向小弧段Ak Ak?1所作的功可以近似为 F(xk,yk)?AkAk?1?[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk? 于是? 变力F(x? y)所作的功
?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk? W??F(xk,yk)?AkAk?1??[P(xk,yk)cosk?1k?1n?1?n?1???从而
W??[P(x,y)cos??Q(x,y)sin?]ds?
L这里???(x? y)? {cos?? sin?}是曲线L在点(x? y)处的与曲线方向一致的单位切向量?
把L分成n个小弧段? L1? L2? ? ? ?? Ln? 变力在Li上所作的功近似为?
F(?i? ?i)??si?P(?i? ?i)?xi?Q(?i? ?i)?yi ? 变力在L上所作的功近似为?
n
?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?
i?1 变力在L上所作的功的精确值?
n W?lim??0?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?
i?1其中?是各小弧段长度的最大值? 提示?
用?si?{?xi??yi}表示从Li的起点到其终点的的向量? 用?si表示?si的模? 对坐标的曲线积分的定义?
定义 设函数f(x? y)在有向光滑曲线L上有界? 把L分成n个有向小弧段L1? L2? ? ? ?? Ln? 小弧段Li的起点为(xi?1? yi?1)? 终点为(xi? yi)? ?xi?xi?xi?1? ?yi?yi?yi?1? (?i? ?)为Li上任意一点? ?为各小弧段长度的最大值?
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n 如果极限lim??0?i?1f(?i,?i)?xi总存在? 则称此极限为函数
f(x? y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分? 记作?f(x,y)dx? 即
Ln??Lf(x,y)dx??lim?0nf(?i,?i)?xi?
i?1 如果极限lim??0?i?1f(?i,?i)?yi总存在? 则称此极限为函数
f(x? y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分? 记作?f(x,y)dy? 即
Ln??Lf(x,y)dy??lim?0
f(?i,?i)?yi?
i?1 设L为xOy面上一条光滑有向曲线? {cos?? sin?}是与曲线方向一致的单位切向量? 函数P(x? y)、Q(x? y)在L上有定义? 如果下列二式右端的积分存在? 我们就定义
?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds? ?LQ(x,y)dy??LQ(x,y)sin?ds?
前者称为函数P(x? y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分? 后者称为函数Q(x? y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分? 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分? 定义的推广?
设?为空间内一条光滑有向曲线? {cos?? cos?? cos?}是曲线在点(x? y? z)处的与曲线方向一致的单位切向量? 函数P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在?上有定义? 我们定义(假如各式右端的积分存在)
??P(x,y,z)dx???P(x,y,z)cos?ds? ??Q(x,y,z)dy???Q(x,y,z)cos?ds? ??R(x,y,z)dz???R(x,y,z)cos?ds?
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n??Lf(x,y,z)dx??lim?0nf(?i,?i,?i)?xi?
i?1??Lf(x,y,z)dy??lim?0nf(?i,?i,?i)?yi?
i?1??Lf(x,y,z)dz??lim?0f(?i,?i,?i)?zi?
i?1对坐标的曲线积分的简写形式?
?LP(x,y)dx??LQ(x,y)dy??LP(x,y)dx?Q(x,y)dy? ??P(x,y,z)dx???Q(x,y,z)dy???R(x,y,z)dz?
??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?
对坐标的曲线积分的性质? (1) 如果把L分成L1和L2? 则
?LPdx?Qdy??L1Pdx?Qdy??Pdx?Qdy?
L2 (2) 设L是有向曲线弧? ?L是与L方向相反的有向曲线弧? 则
??LP(x,y)dx?Q(x,y)d???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?
两类曲线积分之间的关系?
设{cos?i? sin?i}为与?si同向的单位向量? 我们注意到{?xi? ?yi}??si? 所以 ?xi?cos?i??si? ?yi?sin?i??si?
n
??Lf(x,y)dx??lim?0nf(?i,?i)?xi
i?1 ?lim??0?i?1nf(?i,?i)cos?i?si??f(x,y)cos?ds?
L
??Lf(x,y)dy??lim?0f(?i,?i)?yi
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n ?lim??0?i?1f(?i,?i)sin?i?si??f(x,y)sin?ds?
L即
?LPdx?Qdy??L[Pcos??Qsin?]ds? ?LA?dr??LA?tds?
或
其中A?{P? Q}? t?{cos?? sin?}为有向曲线弧L上点(x? y)处单位切向量? dr?tds?{dx? dy}?
类似地有 或
??Pdx?Qdy?Rdz??[Pcos??Qcos??Rcos?]ds?
???A?dr???A?tds???Atds?
其中A?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}为有向曲线弧?上点(x? y? z)处单们切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }? A t为向量A在向量t上的投影?
二、对坐标的曲线积分的计算?
定理? 设P(x? y)、Q(x? y)是定义在光滑有向曲线 L? x??(t)? y??(t)?
上的连续函数? 当参数t单调地由?变到?时? 点M(x? y)从L的起点A沿L运动到终点B? 则 讨论? 提示?
?L?LP(x,y)dx??P[?(t),?(t)]??(t)dt?
??Q(x,y)dy??Q[?(t),?(t)]??(t)dt?
???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?？
?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy???{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt?
? 定理? 若P(x? y)是定义在光滑有向曲线 L? x??(t)? y??(t)(??t??)
上的连续函数? L的方向与t的增加方向一致? 则
?LP(x,y)dx??P[?(t),?(t)]??(t)dt?
?? 简要证明? 不妨设???? 对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{??(t)? ??(t)}?
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所以cos????(t)??(t)???(t)22?
从而
?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds
? ??P[?(t),?(t)]???(t)??2(t)???2(t)??2(t)???2(t)dt
??P[?(t),?(t)]??(t)dt?
??
应注意的问题?
下限a对应于L的起点? 上限? 对应于L的终点? ?不一定小于? ? 讨论?
若空间曲线?由参数方程 x??t)? y =? (t)? z??(t) 给出? 那么曲线积分
??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?？
如何计算? 提示?
???P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz
??{P[?(t),?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t),?(t)]??(t)?R[?(t),?(t),?(t)]??(t)}dt?
?其中?对应于?的起点? ?对应于?的终点? 例题?
例1?计算?xydx? 其中L为抛物线y2?x上从点A(1? ?1)到点B(1? 1)的一段弧?
L 解法一? 以x为参数? L分为AO和OB两部分?
AO的方程为y??x? x从1变到0? OB 的方程为y?x? x从0变到1? 因此
?Lxydx??AOxydx??OBxydx0110
13x2dx ??x(?x)dx??xxdx?2?0?4? 5重庆三峡学院高等数学课程建设组