高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分
第二种方法? 以y为积分变量? L的方程为x?y2? y从?1变到1? 因此
?Lxydx??y2y(y2)?dy?2?y4dy??1?1114 ? 5 例2? 计算?y2dx?
L(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2 ? (2)从点A(a? 0)沿x轴到点B(?a? 0)的直线段? 解 (1)L 的参数方程为 x?a cos?? y?a sin??
?从0变到??
因此
?Ly2dx??asin?(?asin?)d??a0?223??0(1?cos?)dcos?2??43a? 3(2)L的方程为y?0? x从a变到?a? 因此
?Ly2dx??L?aa0dx?0?
2
例3 计算?2xydx?x2dy? (1)抛物线y?x上从O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧? (2)抛物线
x?y2上从O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧? (3)从O(0? 0)到A(1? 0)? 再到R (1? 1)的有向折线OAB ? 解 (1)L? y?x2? x从0变到1? 所以
?L2xydx?L?xdy??(2x?x?x?2x)dx?4?x3dx?1?
0021221(2)L? x?y2? y从0变到1? 所以
2xydx?x2dy??(2y2?y?2y?y4)dy?5?y4dy?1 ?
0011 (3)OA? y?0? x从0变到1? AB? x?1? y从0变到1?
?L2xydx?x2dy??12OA2xydx?x2dy??1AB2xydx?x2dy
??(2x?0?x?0)dx??(2y?0?1)dy?0?1?1?
00 例4? 计算?x3dx?3zy2dy?x2ydz? 其中?是从点A(3? 2? 1)到点B(0? 0? 0)的直线段
?AB?
解? 直线AB的参数方程为 x?3t? y?2t? x?t? t从1变到0? 所以
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00所以 I??[(3t)3?3?3t(2t)2?2?(3t)2?2t]dt?87?t3dt??1187? 4 例5? 设一个质点在M(x? y)处受到力F的作用? F的大小与M到原点O的距离成正比?
2x2yF的方向恒指向原点? 此质点由点A(a? 0)沿椭圆2?2?1按逆时针方向移动到点B(0?
abb)? 求力F所作的功W?
2x2y 例5? 一个质点在力F的作用下从点A(a? 0)沿椭圆2?2?1按逆时针方向移动到点
abB(0? b)? F的大小与质点到原点的距离成正比? 方向恒指向原点? 求力F所作的功W?
解? 椭圆的参数方程为x?acost? y?bsint ? t从0变到
? ?? 2 r?OM?xi?yj? F?k?|r|?(?其中k>0是比例常数?
r)??k(xi?yj)? |r|于是 W??? ?kxdx?kydy??k?? xdx?ydy?
ABABtsint?b2sintcost)dt ??k?(?a2cos??20 ?k(a2?b2)?02sintcostdt?2(a2?b2)?
k 三、两类曲线积分之间的联系 由定义? 得
?LPdx?Qdy??L(Pcos??Qsin?)ds
LL ??{P,Q}?{cos?,sin?}ds??F?dr?
其中F?{P? Q}? T?{cos?? sin?}为有向曲线弧L上点(x? y)处单位切向量? dr?Tds?{dx? dy}?
类似地有
??Pdx?Qdy?Rdz??(Pcos??Qcos??Rcos?)ds
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??{P,Q,R}?{cos?,cos?,cos?}ds??F?dr?
??其中F?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}为有向曲线弧?上点(x? y? z)处单们切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }?
§10?3 格林公式及其应用
一、格林公式 单连通与复连通区域?
设D为平面区域? 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D? 则称D为平面单连通区域? 否则称为复连通区域?
对平面区域D的边界曲线L? 我们规定L的正向如下? 当观察者沿L的这个方向行走时? D内在他近处的那一部分总在他的左边? 区域D的边界曲线L的方向?
定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成? 函数P(x? y)及Q(x? y)在D上具有一阶连续偏导数? 则有
??(D?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy?
L?x?y其中L是D的取正向的边界曲线? 简要证明?
仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明?
设D?{(x? y)|?1(x)?y??2(x)? a?x?b}? 因为
?P连续? 所以由二重积分的计算法有 ?y??Db?2(x)?P(x,y)b?Pdxdy??{?dy}dx??{P[x,?2(x)]?P[x,?1(x)]}dx?
a?1(x)a?y?y另一方面? 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有
?Pdx??Pdx??Pdx??P[x,?1(x)]dx??P[x,?2(x)]dx
LL1L2abba ??{P[x,?1(x)]?P[x,?2(x)]}dx?
ab因此
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????Pdxdy??Pdx?
D?yL 设D?{(x? y)|?1(y)?x??2(y)? c?y?d}? 类似地可证
??D?Q?xdxdy??Qdx?
L由于D即是X－型的又是Y－型的? 所以以上两式同时成立? 两式合并即得
??Q?P???dxdy??Pdx?Qdy? ???L?x?y?D? 应注意的问题?
对复连通区域D? 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分? 且边界的方向对区域D来说都是正向?
设区域D的边界曲线为L? 取P??y? Q?x? 则由格林公式得 2??dxdy??xdy?ydx? 或A???dxdy?DLD12?Lxdy?ydx?
例1? 椭圆x?a cos? ? y?b sin? 所围成图形的面积A? 分析? 只要
?Q?x??Q?P?P?1? 就有??(?)dxdy???dxdy?A? ?y?x?yDD 解? 设D是由椭圆x=acos? ? y=bsin? 所围成的区域? 令P???Q?P1111????1? y? Q?x? 则
?x?y2222于是由格林公式? A???dxdy???DL111ydx?xdy???ydx?xdy 222L ?2?112?22(absin??abcos?)d??abd???ab? 2?02?0 例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线? 证明
?L2xydx?x2dy?0?
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证? 令P?2xy? Q?x2? 则
?Q?x??P?2x?2x?0? ?y因此? 由格林公式有?2xydx?x2dy????0dxdy?0? (为什么二重积分前有“?”号？ )
LD 例3? 计算??e?ydxdy? 其中D是以O(0? 0)? A(1? 1)? B(0? 1)为顶点的三角形闭区域?
D2 分析? 要使
?Q?x?22?P?e?y? 只需P?0? Q?xe?y? ?y 解? 令P?0? Q?xe?y? 则
2?Q?x2?2?P?e?y? 因此? 由格林公式有 ?y
?yedxdy???D2?yxedy??OA?AB?BO?y?x?xedy??xedx?OA02121(1?e?1)? 2 例4 计算?xdy?ydxx?y22L? 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线?
L的方向为逆时针方向?
?Qy2?x2x?P22
解? 令P?2? ? 则当x?y?0时? 有? Q????x(x2?y2)2?yx2?y2x?y2?y记L 所围成的闭区域为D? 当(0? 0)?D时? 由格林公式得?xdy?ydxx?y22L?0?
当(0? 0)?D时? 在D内取一圆周l? x2?y2?r 2(r>0)? 由L及l围成了一个复连通区域D 1? 应用格林公式得
?Lxdy?ydxx2?y2??xdy?ydxx2?y2l?0?
其中l的方向取逆时针方向? 于是?xdy?ydxx2?y2??xdy?ydxx2?y2Ll ??2?0r2cos2??r2sin2?d??2?? 2r重庆三峡学院高等数学课程建设组