高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分
?Q?R?P?0? ?y?z? ?0? ?y?x?z由高斯公式? 有
??(x?y)dxdy?(y?z)dydz
? ????(y?z)dxdydz????(?sin??z)?d?d?dz
?? ??2?0d???d??(?sin??z)dz??00139?? 2222
例2 计算曲面积分??(x2cos??y2cos??z2cos?)dS? 其中?为锥面x?y?z介于平
?面z?0及z?h (h>0)之间的部分的下侧? cos?、cos?、cos?是?上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦?
解 设?1为z?h(x2?y2?h 2)的上侧? 则?与?1一起构成一个闭曲面? 记它们围成的空间闭区域为?? 由高斯公式得
???(xcos??ycos??zcos?)dS
hx2?yhx2?y2222 ?2x2?y2?h2??dxdy?(x?y?z)dz?22x2?y2?h2??dxdy?zdz
?x2?y2?h2222??(h?x?y)dxdy?12?h
4提示?
x2?y2?h2??dxdy?hx2?y2(x?y)dz?0?
而
2222(xcos??ycos??zcos?)dS?z????dS??1?1x2?y2?h2??h2dxdy??h4?
因此
???(x2cos??y2cos??z2cos?)dS?11?h4??h4???h4? 22重庆三峡学院高等数学课程建设组
高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分
提示? 根据被积函数的奇偶性和积分区域的对称性? ?
?
例3 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域?上具有一阶及二阶连续偏导数? 证明
????u?vdxdydz???u??v?u?v?u?v?u?vdS????(??)dxdydz? ?n?x?x?y?y?z?z?其中?是闭区域?的整个边界曲面?
???v为函数v(x, y, z)沿?的外法线方向的方向导数? 符号?n???? 称为拉普拉斯算子? 这个公式叫做格林第一公式? ???x2?y2?z2 证? 因为方向导数
?v?v?v?v?cos??cos??cos?? ?n?x?y?z其中cos?、cos?、cos?是?在点(x? y? z)处的外法线向量的方向余弦? 于是曲面积分
??u?ndS???u(?xcos???ycos???zcos?)dS???v?v?v?v
???[(u??v?v?v)cos??(u)cos??(u)cos?]dS? ?x?y?z重庆三峡学院高等数学课程建设组
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利用高斯公式? 即得
??u??v??v??v??vdS????[(u)?(u)?(u)]dxdydz ?n?x?x?y?y?z?z? ????u?vdxdydz????(?u?v??u?v??u?v)dxdydz?
???x?x?y?y?z?z将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式? 二、通量与散度
高斯公式的物理意义? 将高斯公式 改写成
????(?P?Q?R??)dv???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS ?x?y?z?????(?P?Q?R??)dv???vndS? ?x?y?z?其中vn?v?n?Pcos? ?Qcos? ?Rcos?? n?{cos? ? cos? ? cos?}是?在点(x? y? z)处的单位法向量? 公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域?的流体的总质量? 左端可解释为分布在?内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量? 散度?
设?的体积为V? 由高斯公式得
1V????(?P?Q?R1??)dv??x?y?zV??vndS??
其左端表示?内源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值? 由积分中值定理得 (?P?Q?R1??)|(?,?,?)??x?y?zV??vndS??
令?缩向一点M(x? y? z)得
?P?Q?R1???lim?x?y?z??MV??vndS??
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上式左端称为v在点M的散度? 记为divv? 即 divv??P?Q?R? ???x?y?z 其左端表示单位时间单位体积分内所产生的流体质量? 一般地? 设某向量场由
A(x? y? z)?P(x? y? z)i?Q(x? y? z)j?R(x? y? z)k
给出? 其中P? Q? R具有一阶连续偏导数? ?是场内的一片有向曲面? n是?上点(x? y? z)处的单位法向量? 则
??A?n?叫做向量场A通过曲面?向着指定侧的通量(或流量)? 而
?P?Q?R??叫做向量场A的散度? 记作div A? 即 ?x?y?z divA??P?Q?R??? ?x?y?z 高斯公式的另一形式?
???divAdv???A?ndS? 或???divAdv???AndS?????
其中?是空间闭区域?的边界曲面? 而 An?A?n?Pcos??Qcos??Rcos? 是向量A在曲面?的外侧法向量上的投影?
§10? 7 斯托克斯公式 环流量与旋度 一、斯托克斯公式
定理1 设?为分段光滑的空间有向闭曲线? ?是以?为边界的分片光滑的有向曲面? ?的正向与? 的侧符合右手规则? 函数P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在曲面?(连同边界)上具有一阶连续偏导数? 则有
??(??Q?P?R?Q?P?R?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy??Pdx?Qdy?Rdz? ?y?z?z?x?x?y? 记忆方式?
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dydzdzdxdxdy??? ????Pdx?Qdy?Rdz?
?x?y?z??PQRcos?cos?cos????或 ??dS??Pdx?Qdy?Rdz?
?x?y?z??PQR其中n?(cos? ? cos? ? cos?)为有向曲面?的单位法向量?
讨论? 如果?是xOy面上的一块平面闭区域? 斯托克斯公式将变成什么?
例1 利用斯托克斯公式计算曲线积分?zdx?xdy?ydz? 其中?为平面x?y?z?1被三个
?坐标面所截成的三角形的整个边界? 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则?
解 按斯托克斯公式? 有
?zdx?xdy?ydz???dydz???dzdx?dxdy?
由于?的法向量的三个方向余弦都为正? 又由于对称性? 上式右端等于3??d??
Dxy其中Dxy为xOy 面上由直线x?y?1及两条坐标轴围成的三角形闭区域? 因此
??zdx?xdy?ydz?2?
3 解 设?为闭曲线?所围成的三角形平面? ?在yOz面、zOx面和xOy面上的投影区域分别为Dyz、Dzx和Dxy ? 按斯托克斯公式? 有 dydzdzdxdxdy??? ?zdx?xdy?ydz???
?x?y?z??zxy ???dydz?dzdx?dxdy????dydz???dzdx???dxdyDyzDzxDxy?3??dxdy ?Dxy3? 2 例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分
I??(y2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz ?
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