江西省南康中学2012届高三下学期数学（理）试题 (八)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上。 ．．．．．．．．．．．．．．．1.设i为虚数单位，复数z1?1?i,z2?2i?1，则复数Z1?Z2在复平面上对应的点在 A．第一象限 B．第二象限
2.若A、B均是非空集合，则A∩B≠φ是A?B的
C．第三象限
D．第四象限
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 3.右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据右
? x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y?0.7x?0.35，那么表中t的值为 A.3 B.3.15 C.3.5 D.4.5 b， c)，输 4.如图所示程序框图，其作用是输入空间直角坐标平面中一点P(a，开始 输入P（a,b,c） a>b? 是 e=a a=b b=e 是 e=a a=c c=e 是 e=b b=c c=e 3， 1)，则P， Q间的距离为（注： b c)．若P的坐标为(2，出相应的点Q(a，，
框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=” ） A．0 B．2 5.将函数f(x)?3sin(4x?向右平移
C．6D．22 否 ?6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再
a>c? ?个单位长度，得到函数y?g(x)的图象，则y?g(x)图象的6
一条对称轴是 A．x?否 ?12 B．x?
?6
C．x?
?3
D．x?2? 3b>c? 6. 如果数列a1,aa2a3,,?,n,?是首项为1，公比为?2的等比数列，则 否 a1a2an?1
D．64
输出Q（a,b,c） _ 结束3a5等于
A．-64 B．-32 C．32
7.已知函数f(x)?x?3ax(a?R)，若直线
x?y?m?0对任意的
1C. a?
3m?R都不是曲线y?f(x)的切线，则a的取值范围为
A.a?1
3B. a?1
3
D. a?1 3x2y28.已知P为双曲线2?2?1(a?0,b?0)左支上一点，F1,F2为双曲线的左右焦点，且
ab5cos?PF1F2?sin?PF2F1?则此双曲线离心率是
5 A．5 B.5 C.25 D.3
1x19.已知函数f(x)(x?R)满足f(1)?1，且f(x)的导函数f?(x)?，则f(x)??的解
222集为
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A.x?1?x?1 B.xx??1 C.xx??1或x?1 D.xx?1 10.设a?(a1,a2)，b?(b1,b2)，定义一种向量积a?b?(a1,a2)?(b1,b2)?(a1b1,a2b2)，已知
1?m?(2,)， n?(,0),点P(x,y)在y?sinx的图象上运动，点Q在y?f(x)的图象上运
23????????动，满足OQ?m?OP?n（其中O为坐标原点），则y?f(x)的最大值及最小正周期分别为
11A．2，π B．2，4π C．，π D．，4π
22二、填空题 ：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上。 ．．．．．．．．．．．．．11．已知直线ax?by?c?0与圆O:x2?y2?1相交于A，B两点，且AB?3，则????????????????OA?OB?_________．
12．2012年南康中学将派出5名优秀教师去赣州市的三所中学进行教 学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有 。D13．四棱锥P?ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，
其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形。则在四棱 锥P?ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线 共有______对．
14．“无字证明”(proofs without words)，就是
将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式： ．
2|x?1|?|x?2|?a?a?1的解集为空集，15．(1)（不等式选讲选做题）关于x的不等式
正视图侧视图CBA俯视图则实数a的取值范围是 。
（2）．（坐标系与参数方程选做题）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与
x轴的正半轴重合，曲线C的参数方程为
?x?3cos?y?sin?（?为参数），直线l的极坐标方
??cos(??)?6程为
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
请在答题卡各自题目的答题区域内作答。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．16．(本小题满分1 2分)
如图，在△ABC中，已知B?3．点P在曲线C上，则点P到直线l的距离的最小值为
?3，AC=43，D为BC边上一点．
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(I)若AD=2，S△DAC=23，求DC的长； (Ⅱ)若AB=AD，试求△ADC的周长的最大值．
17．（本题满分共12分）如图，几何体P?ABCD为正四棱锥，几何体Q?PCB为正四面体.
P（1）求证：PC?DQ；
（2）求QD与平面PAD所成角的正弦值.
18．(本小题满分12分)
为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 女生 合计 10 5 50 AQDCB已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；
（2）问有多大的把握认为“喜爱打篮球与性别有关”？说明你的理由；
（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为?，求?的分布列与期望.
下面的临界值表供参考： P(K?k) 2350.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 22.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 n(ad?bc)2 (参考公式：K?，其中n?a?b?c?d)
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
19. （本小题12分）
已知数列?an?的前n项和Sn满足：a(Sn?an)?Sn?a（a为常数）.
（1）求{an}的通项公式；
11112??????（2）若a?2时，证明：. S1?1S2?1S3?1Sn?13
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20.（本小题满分13分）
2x2y2?1?a?0?，其焦点在x轴上，离心率e?已知椭圆C的方程为：2?.
a22（1）求该椭圆的标准方程；
?????????????（2）设动点P?x0,y0?满足OP?OM?2ON，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM122，求证：x0?2y0为定值. 2（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A,B，使得PA?PB为定值？
与ON的斜率之积为?若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?|ax?2|?blnx（x＞0）．
（1）若a＝1，f(x)在（0，＋∞）上是单调增函数，求b的取值范围；
1（2）若a≥2，b＝1，求方程f(x)?在（0，1]上解的个数．
x
高三数学训练（理科）参考答案
一、选择题
1-5 ABACC 6-10 CDADD 二、填空题 11. ?1 12.150种 13. 6 214．sin(???)?sin?cos??cos?sin? 15．（1）．(?1,0)；（2）．6?3 三、解答题
16．解：(Ⅰ) ?S?DAC?23，
??AD?AC?sin?DAC?23，
∴sin?DAC?∴?DAC?121?2?． ∵?DAC??BAC????, 233?6．
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在△ADC中，由余弦定理，得
DC2?AD2?AC2?2AD?ACcos?6,
?DC2?4?48?2?2?43?（Ⅱ）∵AB?AD，B?3?28, ?DC?27． ···· 6分 2?3， ∴ ?ABD为正三角形，
在?ADC中，根据正弦定理，可得
AD43DC , ??2??sinCsin??sin??C?3?3?????AD?8sinC，DC?8sin??C?, ∴?ADC的周长为
?3?????AD?DC?AC?8sinC?8sin??C??43?3????1?313??43?8?sinC???43 ?8?sinC?cosC?sinCcosC????222???2?????8sin?C???43,
3????ADC?2?，3?0?C??3，??3?C??3?2?， 3?当C??3??，即C＝时， f?A?有最大值16+83.8?43． ··· 的周长最大值为12分 ?ADC26?17．解：如图，以OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系。
不妨设|OB|=1，则B(1,0,0)，C(0,1,0)， D(-1,0,0)，
ZA(0,-1,0) 因为Q?PCB为正四面体，所以?PCB为正三
角形，所以|PC?||BC?|?1，因此，所以|OP|2yOxP(0,0,1)。
设?PCB的重心为M，则QM?面PCB，又O?PCB也为正三棱锥，因此OM?面PCB，因此O、M、Q三点共线，
????所以OQ垂直面PCB，即OQ是平面PCB的一个法向量，
??????????由PB?(1,0,?1)，PC?(0,?1,1)易得平面PCB的一个法向量可以取n1?(a,a,a)，
????????222所以不妨设Q(a,a,a)，则PQ?(a,a,a?1)，因为|PQ|?a?a?(a?1)?2 解得a=1，所以Q(1,1,1)。
????????????????（1）PC?(0,?1,1)，DQ?(2,1,1)，PC?DQ?0，所以PC?DQ；
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