3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式l?l0v21?2。 c答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。如图所示，设物
‘体沿x轴方向运动，以固定于物体上的参考系为?。若物体后端经过P1点（第
一事件）与前端经过P2点（第二事件）相对于?同时，则P1P2定义为?上测得的
‘'物体长度。物体两端在?上的坐标设为x1'和x2。在?上P1点的坐标为x1，P2点
的坐标为x2，两端分别经过P对这两事件分别应用洛伦兹1和P2的时刻为t1?t2。变换式得 x1'?x1?vt11?vc22',x2?x2?vt21?vc22，两式相减，计及t1?t2，有
'x2?x1'?x2?x11?vc22?*?.式中x2?x1为?上测得的物体长度l（因为坐标x1和x2是在?‘‘'上同时测得的），x2上测得的物体静止长度l0。由于物体对?静止，?x1'为?所以对测量时刻t和t没有任何限制。由?*?式得l?l0'1'2v21?2。 c
?4、试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系E????.
答：由于静电场的无旋性，得：?E?dl?0 设C1和C2为由P1点到P2点的两条不同路径。C1与－C2合成闭合回路，因此 即
C1?E?dl??E?dl?0
C2C1?E?dl??E?dlC2 因此，电荷由
PP2点时电场对它所作的功与路径无关，而只和两端点有关。把单位正电1点移至P2荷由P1点移至P2,电场E对它所作的功为：
P1?E?dl,这功定义为P点和P点的电
12P2势差。若电场对电荷作了正功，则电势?下降。由此，??P2????P1????E?dl由
P1这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理
11
意义的。 相距为
d??dl
的两点的电势差为 d???E?dl.由于
?????? 因此，电场强度E等于电势?的负梯度 dx?dy?dz????dl，?x?y?zE????.
5、
??试由恒定磁场方程证明矢势A的微分方程?A???j。
2 答：已知恒定磁场方程??B??0J（，把1）（在均匀线性介质内）得矢势A的微分方程 ?????A???J.由矢量分析公式 B???A(2)代入（1）得矢势A的微分方?????A??????A???2A.若取A满足规范条件??A?0 ，程
6、试由电场的边值关系证明势的边值关系?2?n?证：电场的边值关系为：?n??2A???J.???A?0?
??2????11???. ??1?n?E??D???E21?0,?$?，?*?式可写为 D2n?D1n???@? ?2?D1??.?*?????? 式中n为由介质1指向介质2的法线。利用D??E及E????,可用标势将?@?表为： ?2??2????11???. ??1?n势的边值关系即得证。
7、试由静电场方程证明泊松方程?2????。 ????E?0,(1) 答：已知静电场方程为：?并知道 E????.(3)在均匀各向同性线
??D??.(2)?性介质中，D??E，将（3）式代入（2）得 ?2???于是得到静电势满足的基本微分方程，即泊松方程。
12
?，?为自由电荷密度。?
8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程。
?(x)???E(x)???0??B?x????E(x)??答：麦克斯韦方程组 ?表明，变化的磁场可以激发?t???B?x??0??E?x????B?x???0j?x???0?0?t?电场，而变化的电场又可以激发磁场，因此，自然可以推论电磁场可以互相激发，形成电磁波。这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到，在真空的无源区域，电荷密度和电流密度均为零，在这样的情形下，对麦克斯韦方程的第二个方程取旋度
????B?x??并利用第一个方程，得到 －?2E(x)??，再把第四个方程对时间求
?t????B?x??????B?x???2E?x???0?0导，得到 ，从上面两个方程消去，得到
?t?t?t2?2E?x??E?x???0?0?0。这就是标准的波动方程。对应的波的速度是2?t21?0?0 9、
?c.
试由麦克斯韦方程组证明电磁场的边界条件
?????????n?E2?E1?0;n?D2?D1??;n?B2?B1?0. ????D?ds???dV??????????解：即：?Sn?D2??Sn?D1???S.
????n?D2?D1??fSV????对于磁场B，把?B?ds?0应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上，重复以
SD2n?D1n?????上推导可得：B2n?B1n即：n?B2?B1?0
?? 作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路，矩形回路所在平面与界面垂直，矩形长边边长为?l，短边边长为?l'。因为?E?dl?0，作沿狭长矩形的E的路径积分。由于?l'比?l小得多，当?l'?0时，E沿?l'积分为二级小量，忽略沿?l'的路径积分，沿界面切线方向积分为：E2t?l?E1t?l?0 即：
13
???E2t?E1t?0,?*?。?*?可以用矢量形式表示为：E2?E1?t?0?@?
?? 式中t为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量。
令矩形面法线方向单位矢量为t'，它与界面相切，显然有 t?n?t'?#? 将?#?式代入?@?式，则
?????E2?E1?n?t'?0,?$?，利用混合积公式
????????????因此 ?E?E??n?0，此式表示电场在分界面切线方向分量是连续的。 ??21????????'??A?B?C?C?A?B，改写?#?式为：t?E2?E1?n?0此式对任意t'都成立，
??210、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程?E?kE?0
2答：从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程。在一定的频率下，有
D??E,B??H，把时谐电磁波的电场和磁场方程：
E?x,t??E?x?e?iwt,B?x,t??B?x?e?iwt.代入麦氏
?B???E??,??t??D?, 消去共同因子e?iwt后得 方程组???H?t???D??0,?????B?0.???E?iw?H,???H??iw?E,?在此注意一点。????E?0,????H?0.在w?0的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。取第一式的散度，由于
?????E??0，因而??H?0，即得第四式。同样，由第二式可导出第三式。在此，在一定频率下，只有第一、二式是独立的，其他两式可由以上两式导出。 取第一式旋度并用第二式得 ?????E??w2??E 由
??2E?k2E?0,上式变为 ?此为亥姆霍兹方?????E??????E???E???E，
k?w??.?22程。 11、
???设A和?是满足洛伦兹规范的矢势和标势，现引入一矢量函数Z?x,t?（赫
?1?Z?. 兹矢量），若令????Z,证明A?2?tc?证明：A和?满足洛伦兹规范，故有
14
?1????A?2?0.
c?t???????Z代入洛伦兹规范，有：??1????1?Z????A?2????Z?0,即??A＝???2???tc?c?t?
??1?Z?A?2.c?t
??2、 计算题：
1、真空中有一半径为R0接地导体球，距球心为a?a?R0? 处有一点电荷Q，求空间各点的电势。
解：假设可以用球内一个假想点电荷Q'来代替球面上感应电荷对空间电场的作用。由对称性，Q'应在OQ连线上。关键是能否选择Q'的大小和位置使得球面上
?＝0的条件使得满足？
QQ' 考虑到球面上任一点P。边界条件要求 ?'?0.式中r为Q到P的距离，
rrr'Q'因此对球面上任一点，应有 由图可看???常数。（1）r为Q到P的距离。rQ''出，只要选Q'的位置使?OQ'P~?OPQ,则
r'R0＝?常数。（2） 设Q'距球心为b，两三角形相似的条件为ra2RR0R0b?,或b?.?3?由（1）和（2）式求出 Q'??0Q.(4)（3）和（4）式确
aR0aa定假想电荷Q'的位置和大小。
由Q和镜象电荷Q'激发的总电场能够满足在导体面上?＝0的边界条件，因此是空间中电场的正确解答。球外任一点
p
的电势是：
Q??R01?QR0Q?1?Qa? 式中r?＝???'??22?4??0?rar?4??0?R2?a2?2Racos?R?b?2Rbcos?????为由Q到P点的距离，r'为由Q'到P点的距离，R为由球心O到P点的距离，
15